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1、1. 绪论1.1 概述在滤波器的发展过程中，早期的维纳滤波器涉及到对不随时间变化的统计特性的处理，即静态处理。在这种信号处理过程中，有用信号和无用噪声的统计特性可与它们的频率特性联系起来，因此与经典滤波器在概念上还有一定的联系。由于军事上的需要，维纳滤波器在第二次世界大战期间得到了广泛的应用。但是，维纳滤波器有如下不足之处：第一，必须利用全部的历史观测数据，存储量和计算量都很大；第二，当获得新的观测数据时，没有合适的递推算法，必须进行重新计算；第三，很难用于非平稳过程的滤波。为了克服维纳滤波器的上述不足之处，卡尔曼等人在维纳滤波的基础上，与60年代初提出了一种递推滤波方法，称为卡尔曼滤波。与维
2、纳滤波不同，卡尔曼滤波是对时变统计特性进行处理。他不是从频域，而是从时域的角度出发来考虑问题。30多年来。卡尔曼已在各个领域得到了广泛的应用，包括机器人导航、控制、传感器数据融合甚至军事方面的雷达系统以及导弹追踪等。近年来更被应用于计算机图象处理，例如头脸识别、图象分割、图象边缘检测等等。1.2滤波器的发展滤波器最初是指某种具有选频特性的电子网络，一般由线圈、电容器和电阻器等元件组成。滤波器将使它所容许通过的频率范围（即通带）内的电信号产生较小的衰减，而使它所阻止通过的频率范围（即阻带）内的电信号产生较大衰减。划分通带和阻带的频率，称为滤波器的截止频率。按组成电路的元件，滤波器可分为LC、RL
3、C、RC、晶体和陶瓷滤波器等。我们也可以用机械元件代替电子元件，制成机械式滤波器，或利用物质的铁磁共振原理制成可点电调谐的滤波器。按容器通过的频率范围，滤波器可分为低通，高通，带阻和带通滤波器等。具有选频特性的串联或并联谐振回路，是一种常用的滤波器。收音机或其他差式接收机中的中频放大器，也是一中滤波器。也是一种滤波器。各级中频放大器中回路靠放大器和变压器来耦合，形成一定的通带和阻带。信号在通过中放级时，通带内的成分将被放大，而阻带内的成分将大大衰减，而且对通带内的信号还有放大作用。此外，调幅波接收机中的包络是一种非线性滤波器。非线性滤波器实例还有：自动增益控制电路，调频接收机中的锁相环以及近年
4、来在组合音响装置中用来提高信噪比的Dobly系统等。上面所举的这些滤波器，不论是线性还是非线性的，由于都是用来对模拟信号进行处理，故统称为模拟滤波器或经典滤波器。随着集成电路技术的出现，特别是数字电子计算机的广泛应用，模拟滤波器开始向数字滤波器方向发展。A/D或D/A转换器，移位寄存器。只读存储器以及微处理机这样一些与传统的模拟滤波电路元件截然不同的电路元件和模块被广泛应用于数字滤波电路中，以适应离散数字信号处理的要求。即使是模拟信号，也可通过A/D转换先变成离散的数字信号，经相应的处理后再恢复成模拟信号。与模拟滤波器相比，数字滤波器不仅可使体积缩小，成本降低，而且还有如下优点：第一，滤波器的
5、参数可根据对滤波器性能指标的要求来设定，从而具有较高的精度；第二，滤波器的参数很容易重新设定或使具有自适应性；第三，有些采用微处理机的数字滤波器可实现对微处理机的分时使用，从而大大提高工作效率。经典滤波器的另一发展方向，就是利用统计理论来处理滤波问题，由此，产生了统计滤波器。从经典滤波的观点来看，有用信号和噪声信号是分布在不同频带之内。因此，我们可用具有一定选频特性的经典滤波网络把噪声尽可能地滤除，而保留畸变不大的有用信号。但是，我们所遇到的信号和噪声有时可能是随机的，其特性往往只能从统计的意义上来描述。例如，在导弹控制系统中，由于目标运动的随机性，目标的位置和速度都是随机的。此外，测量装置也
6、会有随机噪声。此时，我们就不可能采用一般的经典滤波器把有用信号从测量结果中分离出来，而只能用统计估算方法给出有用信号的最优估计值。从统计的观点来看，一个滤波器的输出越接近实际有用信号，这个滤波器就越好。也就是说，最优滤波器是输出最接近于实际有用的信号的滤波器。1.3 卡尔曼滤波器的基本思想卡尔曼滤波是线性无偏最小均方误差递推滤波器。与维纳滤波相比，在平稳条件下，它们所得到的稳态结果是一致的。然而，它们解决的方法有很大区别。维纳滤波是根据全部过去的和当前的观察数据 来估计信号的当前值，它的解是以均方误差最小条件下所得到的系统的传递函数H(z)或单位样本响应h(n)的形式给出的，因此称这种系统为最
7、佳线性过滤器或滤波器。而卡尔曼过滤是用前一个估计值和最近一个观察数据来估计信号的当前值，是用状态方程和递推的方法进行估计的，其解是以估计值形式给出。因此称这种系统为线性最优估计器或滤波器。卡尔曼过滤中信号和噪声是状态方程和量测方程表示的，因此设计卡尔曼滤波器要求已知状态方程和量测方程。 标准卡尔曼滤波器是在最小均方误差准则下的最佳线性过滤器，就是说，它使系统的状态向量和状态向量的预测值之间的均方误差达到最小，它用状态方程和递推方法进行估计，它的解是以估计值形式给出的。由于它能够对物体的运动建立某种模型，因此在跟踪中经常被用到。当观测方程不是线性时，上述标准卡尔曼滤波方程不再适用，但是如果状态估
8、计值离真实值不是很远，可以将观测方程局部线性化，得到扩展卡尔曼滤波器（EKF）。由于EKF 使用泰勒展开的一阶近似，跟踪一段时间之后，经常会引起很大的参数估计的累计误差。为此，Unscented Kalman Filter (UKF) 不再近似估计观测方程，它仍然用高斯随机变量表示状态分布，不过是用特定选择的样本点加以描述。与EKF 相比，UKF 的误差仅仅出现在三阶以上的矩中，而且计算也简单，而EKF 仅仅精确到一阶矩。总的来说，卡尔曼滤波是一个线性的估计器，能够有效地跟踪物体的运动和形状变化，但它基于两个假设：一是背景相对干净；二是运动参数服从高斯分布。因而适用范围有限，对于复杂的多峰情况
9、，还得求助于其它方法。1.4 课题解决方案 本课题采用卡尔曼滤波器技术对热力系统进行温度估计，选取温室室内温度作为系统研究对象。系统建模 具体流程如下： 组织相似状态向量集 运行与调试 状态观测器的设计形成卡尔曼滤波器的叠代初始值MATLAB编程2.卡尔曼滤波器的数学模型卡尔曼滤波方法是由R.E.Kalman建立的,他在Wiener平稳随机过程的滤波理论基础上建立了一种新的递推式滤波方法,可借助于前一时刻的滤波结果,递推出现时刻的状态估计量,因而大大提高了下一时刻的预测精度。该方法不但需要的历史资料很短(23月),而且大大减少了计算机的存储量和计算量。利用前一时刻预报误差反馈到原来的预报方程,
10、通过修正原预报方程系数,来提高一下时刻的预报精度,这是卡尔曼滤波与多元回归预报方法的最大区别,也是它的最大优点。2.1 一维时变随机信号的数学模型对每一确定的取样时刻k，x（k）是一个随机变量。当取样时刻的时标k变化时，我们就得到一个离散的随机过程，即随机序列x（k）。假设待估随机信号的数学模型是一个由白噪声序列w（k）驱动的一阶自递归过程，其动态方程为： (2-1) 式中：参数a1（2-1）式中的w（k-1）称为过程噪声或动态噪声。当时标k变化时，它将构成一个白噪声序列w（k），其统计特性可用以下数字特征来描述：均值 方差 常数 自相关序列 由（2-1）式所决定的信号x（k），当时标k变化时
11、，将构成一个平稳随机序x（k），其统计特性可用以下数字特性来描述： 1.均值 2.方差 常数 3.自相关序列 当取样时刻的时标k变化时，取样时刻时标相差j的x（k）的两样值见的自相关序列为 2.2 信号测量过程的数学模型 信号测量过程的数学模型，可用如下的测量方程给出 (2-2) 式中：为k时刻的信号值。为该时刻对进行测量所得到的信号测量样值。为此时在测量过程中所引入的量测噪声，可将其视为独立的附加白噪声。当k变化时，将组成一个随机信号序列，将组成一个测量样值序列，而将组成一个附加白噪声序列。C为量测参数，它是一个由测量系统和测量方法所确定的不随时间变化的常数。因为量测噪声序列是一个白噪声序列，故其统计特性可用如下的数字特征来描述：均值 方差 常数自相关序列 又因量测噪声序列与随机信号序列互不相关，故 所以，我们可以得到一维时变随机信号及其测量过程的数学模型，见图2-1。y(k)w(k-1)x(k) C + x(k-1) v(k)Ta 信号的数学模型 测量过程的数学模型
