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1、解析几何中的定点和定值问题【教学目标】学会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态图形中的几何对象，探究、证明其不变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中的作用【教学难、重点】解题思路的优化【教学方法】讨论式【教学过程】一、基础练习1、过直线上动点作圆的切线，则两切点所在直线恒过一定点此定点的坐标为_【答案】 【解析】设动点坐标为，则以OP直径的圆C方程为： ，故是两圆的公共弦，其方程为注：部分优秀学生可由 公式直接得出令 得定点.2、已知是过椭圆中心的任一弦，是椭圆上异于的任意一点若 分别有斜率 ，则=_【答案】-2【解析】设，则 ，又由、均在椭圆上，故有：，两式相减得
2、 ，3、椭圆，过右焦点作不垂直于轴的直线交椭圆于、两点，的垂直平分线交轴于，则等于_. 【答案】【解析】设直线斜率为，则直线方程为,与椭圆方程联立消去整理可得,则,所以,则中点为.所以中垂线方程为,令,则,即,所以.,所以.、已知椭圆，是其左顶点和左焦点，是圆上的动点，若=常数，则此椭圆的离心率是 【答案】e=【解析】因为，所以当点P分别在（b，0）时比值相等，即，整理得：，又因为，所以同除以a2可得e2+e-1=0，解得离心率e=二、典例讨论例、如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： 的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两
3、点 试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论分析一：设的方程为，设点（），则点联立方程组消去得所以，则 所以直线的方程为从而 同理可得点所以以MN为直径的圆的方程为整理得：由，可得定点分析二：设P（x0，y0），则Q（x0，y0），代入椭圆方程可得由直线PA方程为：，可得，同理由直线QA方程可得，可得以MN为直径的圆为，整理得：由于，代入整理即可得此圆过定点分析三：易证：，故可设直线斜率为，则直线斜率为.直线方程为，从而得，以代得故知以MN为直径的圆的方程为整理得：由，可得定点.分析四、设，则以MN为直径的圆的方程为即再由得，下略例2、已知离心率为的椭圆恰过两点
4、和.(1) 求椭圆的方程；(2) 已知为椭圆上的两动弦，其中关于原点对称，过点，且斜率互为相反数. 试问：直线的斜率之和是否为定值？证明你的结论.解析：(1) 由题意：所以椭圆的方程为.(2) 设方程为，则方程为又设，则整理得： 由消元整理得：，所以 又由消元整理得：，所以 将、代入式得：.例2(变式)、已知离心率为的椭圆恰过两点和.(3) 求椭圆的方程；(4) 已知为椭圆上的两动弦，其中关于原点对称，过定点，且斜率互为相反数. 试问：直线的斜率之和是否为定值？证明你的结论.解析：(3) 由题意：所以椭圆的方程为.(4) 设方程为，则方程为又设，则整理得： 由消元整理得：，所以 又由消元整理得
5、：，所以 将、代入式得：.三、课外作业1、已知椭圆，A、B是其左、右顶点，动点M满足MBAB，连结AM交椭圆于点P，在x轴上有异于点A、B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP、MQ的交点，则点Q的坐标为_【答案】（0,0）【解析】试题分析：设则，与椭圆方程联立消得，所以，因此，即，点Q的坐标为O（0,0）2、已知P是椭圆上不同于左顶点A、右顶点B的任意一点，记直线PA，PB的斜率分别为的值为 【答案】【解析】设，则 ，因为在椭圆上，所以，即把代入，得3、已知椭圆的离心率e=，A,B是椭圆的左右顶点，P为椭圆上不同于AB的动点，直线PA,PB的倾斜角分别为，则= .【答案】7【解析】试题分析：
6、因为A,B是椭圆的左右顶点，P为椭圆上不同于AB的动点，4、如图所示，已知椭圆C：，在椭圆C上任取不同两点A，B，点A关于x轴的对称点为，当A，B变化时，如果直线AB经过x轴上的定点T(1，0)，则直线经过x轴上的定点为_【答案】(4，0)【解析】设直线AB的方程为xmy1，由得(my1)24y24，即(m24)y22my30.记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(x1，y1)，且y1y2，y1y2，当m0时，经过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程为.令y0，得xy1x1y1my111114，所以y0时，x4.当m0时，直线AB的方程为x1，此时A，B重合，经过A，B的直线有
7、无数条，当然可以有一条经过点(4，0)的直线当直线AB为x轴时，直线AB就是直线AB，即x轴，这条直线也经过点(4，0)综上所述，当点A，B变化时，直线AB经过x轴上的定点(4，0)5、 过椭圆的右焦点的直线交椭圆于于两点，令，则【答案】【解析】试题分析：不失一般性，不妨取MN垂直x轴的情况，此时MN：x=1,联立，得M（1，）,N（1，-），m=n=，6、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，（）求椭圆的方程；（）以为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由解析：（）解法一：设椭圆的方程为，
8、因为椭圆的左焦点为，所以 设椭圆的右焦点为，已知点在椭圆上，由椭圆的定义知，所以 所以，从而所以椭圆的方程为 解法二：设椭圆的方程为，因为椭圆的左焦点为，所以 因为点在椭圆上，所以 由解得，所以椭圆的方程为 （）解法一：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为 因为直线与椭圆交于两点，设点（不妨设），则点联立方程组消去得所以，则 所以直线的方程为 因为直线，分别与轴交于点，令得，即点 同理可得点 所以 设的中点为，则点的坐标为则以为直径的圆的方程为，即 令，得，即或故以为直径的圆经过两定点，解法二：因为椭圆的左端点为，则点的坐标为 因为直线与椭圆交于两点，设点，则点所以直线的方程为 因为直线与轴交于点
9、，令得，即点 同理可得点 所以因为点在椭圆上，所以所以 设的中点为，则点的坐标为则以为直径的圆的方程为即 令，得，即或故以为直径的圆经过两定点，解法三：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为 因为直线与椭圆交于两点，设点（），则点 所以直线的方程为 因为直线与轴交于点，令得，即点 同理可得点 所以 设的中点为，则点的坐标为 则以为直径的圆的方程为，即 令，得，即或故以为直径的圆经过两定点，7、已知椭圆C: =1（a0，b0）的离心率为，点A(1，)在椭圆C上(I)求椭圆C的方程； ()设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交于两点P1，P2（两点均不在坐
10、标轴上），且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由（）解：由题意，得， 又因为点在椭圆上， 所以， 解得， 所以椭圆C的方程为. （）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为. 证明如下： 假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为.当直线的斜率存在时，设的方程为. 由方程组 得， 因为直线与椭圆有且仅有一个公共点， 所以，即. 由方程组 得， 则. 设，则， 设直线， 的斜率分别为， 所以 ， 将代入上式，得. 要使得为定值，则，即，验证符合题意. 所以当圆的方程为时，圆与的交点满足为定值. 当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为， 此时，圆与的交点也满足.8、已知椭圆C1：的离心率为，且过定点M(1，)(1)求椭圆的方程；(2)已知直线l：与椭圆C交于A、B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点？若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由(1)解：由已知椭圆C的方程为(2)解：由得： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是方程的两根设P(0，p)，则 若，则即对任意kR恒成立此方程组无解，不存在定点满足条件
