《求数列通项公式的方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《求数列通项公式的方法（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、求数列的通项公式的方法1定义法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。例1等差数列”了是递增数列，前n项和为SS=a2求数列以如通项公式.55n解：设数歹U公差为d(d0)nta,a,a成等比数列，.a2139即(a+2d)2=1d丰0,，且Ai，a3,a9成等比数列，tS=a2553533.a=+(n1)x=n55由得：!=aa,319(a+8d)nd2=ad11a=d12)。例2.已知数列*的前n项和S满足S=2a+(1)n,n1求数列C的通nnnnn项公式。解：由a=S=2a1na=11111-a)+2x(-1)n,N-1当n2时有a=SS=2(annn1a=2a+2x(1)n1,=2a2
2、.iz.a=2nia+2n-ix(1)+2n2x(12+2x(1)-in1=2n1+(1)n(2)n1+(2)n2+(2)=2n1(1)n组一(恥1nn1a=2a+2x(1)n2,n1n2=|2n-2+(1)n1.2经验证=1也满足上式，所以A2n-2+(-1)n-11n3fSn=1点评：利用公式a=n求解时，要注意对n分类讨论，但若nSSn2nn1能合写时一定要合并练一练：已知a的前n项和满足log(s+1)=n+1，求A；n2nn数列a满足a4,S+Sa，求a；n1nn+13n+1n3.作商法：af(n)求a，用作商法:12nn如数列a中，ai1,对所有的n2都有a.a2a3-123f(1
3、),(n1)f(n可Xn-2)n2，则a+a35a彳f(n)n4.累加法：若a-af(n)求a:a(a-a)+(a-a)+(a-a)+a(n2)。n+1nnnnn-1n-1n2211例3.已知数列满足a,aa+-，求a。n12n+1nn2+nn解：由条件知：1111aa=n+1nn2+nn(n+1)nn+1分别令n1,2,3,(n-1)，代入上式得(n-1)个等式累加之，即(aa)+(aa)+(aa)+(aa)213243nn-1(1-)+(-)+(-)+22334n所以a-a1n11/a12如已知数列a满足a1n11aa(n2)，则a=nn1v-n+1+5n5累乘法：已知f(n)求a，用累乘
4、法：a上l-仝-1-a(n2)。annaaa1nn-1n-21例4.已知数歹Iyz满足a，a=a，求a。n13n+1n+1nn解：由条件知h丄，分别令n1,2,3,(n-1),代入上式得an+1n(n-1)个等式累乘之，即aaaaaa123a123L=XXXa234n-1n-1Xna1nan13n如已知数列a中,na2,前n项和S,若Sn2a1nnn6.已知递推关系求a,用构造法（构造等差、等比数列）。n（1）形如aka+b、aka+bn（k,b为常数）的递推数列都可以用待定系数法nn-1nn-1转化为公比为k的等比数列后，再求a。naka+b解法：把原递推公式转化为：a-1p（a-1）,其中
5、nn-1n+1nt盏，再利用换元法转化为等比数列求解.例5已知数列中+3，求a.n1n+1nn解：设递推公式a2a+3可以转化为a-t2(a-t)即n+1nn+1na2atnt-3.故递推公式为a+32(a+3)，令a+3n+12a+3nn+1nn+1n+3，贝0ba+34，且11所以E是以b4为首项，2为公比的等比数列，则b4X2n-12n+1,所以n1na2n+1-3.naka+bn解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公nn-1式两边同除以qn+1，得：漳P侔+1引入辅助数列罷（其中b侔）,qn+1qqnqnnqn得：bn+1qn1+-再应用aqnka+b的方法解决.。n-
6、1a,a16n+11a+(!)n+13n2解：在an+1=3a”+（2）n+1两边乘以2n+1得2n+1an+1=|(2nan)+1令b2na，则b3b+1，应用例7解法得：b3-2(3)nnnn+13nn3所以an2（3）nnn一1练一练已知a-1,a-3a+2，求a;n已知a-1,a1=3a+2n，求a；n-1n形如a=nI的递推数列都可以用倒数法求通项。ka+bn一1a1,an3-a+11n-1解：取倒数：丄二3aann1an-1+1二3+丄an-11是等差数列，丄=an+(n1)31+(n1)3aa1n3n一2练一练：已知数列满足a=1,Ja-能-,求a；n数列通项公式课后练习已知数列匕中，满足na=6,a+l=2(a+1)(nN+)求数列匕的通项公式。1n+1nn0,且a=3,、：a=/a+11*”I1n+1(nWN+)=3,1a=a+1n+12n(nN+)求数列匕的通项公式na=3a+2,n+1n求数列匕的通项公式n5已知数列匕中,a工0nnaa=nn+11+2an(nN+)6设数列匕满足a=4,a=2,a=1若数列-a成等差数列,n123n+1n7设数列a中，a=2，a=2a+1求通项公式an1n+1nn8已知数列匕中,a=1，2a=a+a求an1n+1nn+2n
