极坐标的几种常见题型

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1、极坐标的几种常见题型、极坐标方程与直角坐标方程的互化互化条件：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位相同、222x=PcosQ或y=PsinQ互化公式:-xyy，tan=（x=0）x。的象限由点（x,y）所在的象限确定.例1（2007海南宁夏）OO1和02的极坐标方程分别为P=4cose,P=4sine.把01和02的极坐标方程化为直角坐标方程；（II）求经过O01,。2交点的直线的直角坐标方程.解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.x=Pcos6,y=Psin。，由P=4cos。得P2=4Pcos8.所以x2+y2=4x.即x2+y2-4

2、x=0为。01的直角坐标方程.同理x2+y2+4y=0为O02的直角坐标方程.（II）解法一：由，x2+y24x=0气七0解得x+y+4y=0x1=0y=0x2=2、*=一2即0i,02交于点（0,0）和（2,-2）.过交点的直线的直角坐标方程为y=x.广22一_x+y4x=0”口“,、八八、3，一、E,2+24，两式相减碍4x-4y=0，即过父点的直线的直角坐标方程为y=x.评述:本题主要考查曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法及两圆公共弦所在直线方程的求法.8sin例2（2003全国）圆锥曲线P=的准线方程是cos2口(A)仰cos-2(B)仰cos-2(C)sin-2(D)仰sin-2

3、解：由P=竺装_去分母后两边同时乘以P得：P2cos2n=8PsinL所以x2=8y，其准线方程为y=-2，在cos极坐标系中方程为Psin6=2，故选C.例3（1998年上海）以直角坐标系的原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若椭圆两焦点的极坐标3:分别是（1，-），（1，），长轴长是4,则此椭圆的直角坐标方程是.解：由已知条件知椭圆两焦点的直角坐标为（0,1）,（0,-1）.c=1,a=2,b2=a2-c2=3,22故所求椭圆的直角坐标方程为4+k=14类题:1（1995年上海）把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并且在两种坐标系中取相同的长21度单位.若曲线的极坐

4、标万程是P=，则它的直角坐标方程是.（答案:3x2-y2=1）2（1998年全国）曲线的极坐标方程P=4sinB化成直角坐标方程为2222.（A）x+（y+2）=4（B）x+（y-2）=4第1页共5页-2222（C）（x-2）+y=4（D）（x+2）+y=4（答案:B）3（2002北京）已知某曲线的参数方程是X一瞠*（中为参数）若以原点为极点,x轴的正半轴为极轴，长度单y=tan甲位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是（A）P=1（B）Pcos26=1（C）P2sin26=1（D）P2cos26=1（答案:D）二、已知曲线的极坐标方程，判断曲线类型常见的直线和圆的极坐标方程及极坐标系中的

5、旋转不变性：1、直线的极坐标方程（a0）（1）过极点，并且与极轴成a角的直线的极坐标方程：e=a;（2）垂直于极轴和极点间的距离为a的直线的极坐标方程：Pcos6=a;平行于极轴和极轴间的距离为a的直线的极坐标方程：Psin=a;不过极点，和极轴成a角，到极点距离为a的直线的极坐标方程：Psin（-况）=a.2、圆的极坐标方程（a0）（1）圆心在极点，半径为a的圆的极坐标方程：P=a;（2）圆心在（a,0）,半径为a的圆的极坐标方程：P=2acos。；（3）圆心在（aE）,半径为a的圆的极坐标方程：P=2acos;圆心在（a,芬）,半径为a的圆的极坐标方程：P=2asin;3二一（5）圆心在（

6、a,;-）,半径为a的圆的极坐标方程：P=2asin8;（6）圆心在（a,90）,半径为a的圆的极坐标方程：P=2acos（B-60）.3、极坐标系中的旋转不变性：曲线f（P,8+ot）=0是将曲线f（P,8）=0绕极点旋转|口|角（口0时，按顺时针方向旋转，a0时，按逆时针方向旋转）而得到.例4（1990年全国）极坐标方程4Psin2?=5所表示的曲线是2（A）圆（B）椭圆（C）双曲线的一支（D）抛物线解:由已知极坐标方程及三角公式得：2P（1-cos。）=5,2P=2Pcos8+5,由互化公式得2%.x2+y2=2x+5，平方整理得y2=5（x+-）,方程表示抛物线，选D.4评述:对于给出

7、的极坐标方程相对于极坐标系而言不是标准的，一般将其等价转化为直角坐标方程来判断其曲线类型.类题：1（1991年三南）极坐标方程4sin2e=3表示的曲线是（A）二条射线（B）二条相交直线（C）圆（D）抛物线（答案:B）2（1987年全国）极坐标方程P=sin8+2cos所表示的曲线是（A）直线（B）圆（C）双曲线（D）抛物线（答案:B）3（2001年广东、河南）极坐标方程P2cos2=1所表示的曲线是（A）两条相交直线（B）圆（C）椭圆（D）双曲线（答案:D）4（2003北京）极坐标方程P2cos2B-2PcosB=1表示的曲线是（A）圆（B）椭圆（C）抛物线（D）双曲线（答案:D）例5（19

8、94年全国）极坐标方程P=cos（:-6）所表示的曲线是（A）双曲线（B）椭圆（C）抛物线（D）圆解:曲线P=cos（：-8）=cos（8-j）是把圆P=cosB绕极点按逆时针方向旋TT转业而得，曲线的形状仍然是一个圆，故选D4评述：把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程较为麻烦，利用旋转不变性则更容易得出答案.方程Pcos（8-0）=0表示一条直线，方程P=acos（8-凯）表示半径为旦|,圆心为（旦|,60）的圆，要注意两者的区22P=2sin（8+：）的图形是别.例6（2001年全国）极坐标方程解:圆P=2sin（8+j）是把圆P=2sin8绕极点按顺时针方向旋转:而得，圆心的极坐标为（1,

9、%），故选C.一.1.一.一类题：1（2002江苏）极坐标万程p=cose与PcosB=-的图形是2（答案:B）2（2004北京春）在极坐标系中，圆心在（，2,兀）且过极点的圆的方程为（A）:=2.2cos（B）-2、.2cos【（C）=2.,2sin【（D）-2.2sin【（答案:B）三、判断曲线位置关系例7（2000年京皖春）直线B=o和直线Psin（0-口）=1的位置关系（A）垂直（B）平行（C）相交但不垂直（D）重合解:直线Psin（0-a）=1是把直线Psin臼=1绕极点按逆时针方向旋转Q角而得，从而两直线平行，故选B.评注:对直线Psin（B-a）=1与直线si=1的关系要十分熟悉

10、.四、根据条件求直线和圆的极坐标方程例8（2002北京春）在极坐标系中，如果一个圆的方程是P=4cos步6sin%那么过圆心且与极轴平行的直线方程是（A）Rin6=3（B）ftin0=T（C）fbosB=2（D）佬osB=与解:将圆的极坐标方程化为直角坐标方程得：x2+v2=4x+6v即（x-2）2+（v-3）2=13丁-17hj|久i/j】ii-Iu/。-i=jul-i/jjil-i、j八*yrxuy，p*ij（x-乙）（y-u）iu.圆心为（2,3），所求直线方程为y=3,即fti=3，故选A.评述:注意直线的直角坐标方程极易求出类题:1（1992年上海）在极坐标方程中，与圆P=4sin8

11、相切的一条直线的方程是（A）Psin=2（B）Pcos日=2（C）Pcos=4（D）Pcos=-4（答案:B）冗2（1993年上海）在极坐标方程中，过点M（2,;）且平行于极轴的直线的极坐标方程是（答案：Psine=2）3（1994年上海）已知点P的极坐标为（1,兀）,那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（A）P=1（B）P=cos8（C）P=_（D）P=（答案:C）cosucosn4（2000年全国）以极坐标系中点（1,1）为圆心，1为半径的圆的方程是（A）、2cos（u-.）（B）、2sin（u-、）（C）=2cos（u-1）（D）：=2sin（-1）（答案:C）五、求曲线中点的极坐

12、标例9（2003上海）在极坐标系中，定点A（1,；）,点B在直线Pcose十Psine=0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是.11、.23：解:在直角坐标系中，A点坐标为（0,1）,B在直线x+y=0上,AB取短，则B为（_,）,化为极坐标为（,）.例10（1999年上海）极坐标方程5P2cos20+P2-24=0所表示的曲线焦点的极坐标为.22-少.99少.少.9xy解:由5Pcos20+P-24=0得5P（cos6-sinB）+P-24=0化为直角坐标方程得一-=1,该双6曲线的焦点的直角坐标为（J16,0）与（-50,0）,故所求焦点的极坐标为（JT0,0）、（J10,兀）.评述:

13、本题考查圆锥曲线极坐标方程的基础知识，掌握点的直角坐标与极坐标的对应关系极为有用例11（2001年京皖蒙春）极坐标系中，圆P=4cos0+3sin8的圆心的坐标是(A)(,arcsin)(B)(5,arcsin)(C)(5,arcsin邑)(D)(,arcsin)255525解:由P=4cos8+3sin8=5(cos。+sin8)=5cos(8-力)(其中sin=)555所以所求圆心坐标为(爻,arcsin),故选A.25.（极角用反三类题：（2002上海）若A、B两点的极坐标为A（4,、）,B（6,0）,则AB中点的极坐标是角函数值表小）.3答案.（.19,arctan）4六、求距离例12

14、（2007广东文）在极坐标系中，直线（的方程为psin伊3，则点（2,：）到直线的距离为解：将直线I的极坐标方程psin9=3化为直角坐标系方程得:y=3,点（2,甘）在直角坐标系中为（“3,1），故点（2，甘）到直线。的距离为2.评注：本题主要考查极坐标系与直角坐标系之间的互化P=cosB和P=sin的两个圆的圆心距是例13（1992年全国、1996年上海）极坐标方程分别是(A)2(B)2(C)1(D)V2,选D.21解法一：两圆的圆心坐标分别为（】,0）与（2,），由此求得圆心距为222解法二：将极坐标方程化成直角坐标方程得（X-1）2+y2=-与X2+（y-1）2=-，由此求得圆心距为，

15、选D.24242评述:本题考查对极坐标的理解，理解深刻者可在极坐标系上画出简图直接求解一般理解者，化极坐标方程为直角坐标方程也能顺利得到正确答案.2例14（1997年全国）已知直线的极坐标万程为Psin（0+；）=亍，则极点到该直线的距离是.2，一，,，一解法一:化直线万程为P=，根据极坐标的概念极点到该直线的距离等于这个函数p的最小值,2sin（）4.二.2一当$叽6+方）=1时，P取最小值勺-即为所求.解法二：对极坐标欠熟悉时，可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程x+y=1,十-士，土十工-.2应用点到直线的距离公式得原点到此直线的距离为.2类题:1（2000年上海）在极坐标系中，若过点（3,0）且与极轴垂直的直线交曲线P=4cos日于A、B两点，则|AB|=.（答案:23）P(2cos0+sin8)=4的距离d=n2（2004上海）在极坐标系中，点M（4,甘）到直线（答案:2.155，关键是求出其圆心的坐标5二B（5,康厂），则OAB的面积是.