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1、第75讲不等式选讲考试要求1.不等式的基本性质(B级要求)；2.|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c型不等式的解法(B级要求)；3.不等式证明的基本方法(比较法、综合法、分析法)(B级要求)；4.算术几何平均不等式与柯西不等式(A级要求)；5.利用不等式求最大(小)值(B级要求)；6.运用数学归纳法证明不等式(B级要求).诊 断 自 测1.求不等式|x1|x5|2的解集.解当x1时，原不等式可化为1x(5x)2，42，不等式恒成立，x1.当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2，x4，1x4，当x5时，原不等式可化为x1(x5)0，y0，若不等式0恒成立，求实数的最小值.解x0，y0，
2、原不等式可化为()(xy)2.2224，当且仅当xy时等号成立.4，即4，4.故的最小值为4.知 识 梳 理1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：不等式a0a0a0|x|a(，a)(a，)(，0)(0，)R(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc；(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式
3、的性质(1)如果a，b是实数，则|a|b|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立.(2)如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立.3.不等式证明的方法(1)比较法：作差比较法：知道abab0，ababb只要证明ab0即可，这种方法称为作差比较法.作商比较法：由ab01且a0，b0，因此当a0，b0时，要证明ab，只要证明1即可，这种方法称为作商比较法.(2)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法.即“由因导果”的方法.(3)分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立
4、的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法.即“执果索因”的方法.(4)反证法和放缩法：先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法.在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法.(5)数学归纳法：一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数
5、n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：证明当nn0时命题成立；假设当nk (kN*，且kn0)时命题成立，证明nk1时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.4.几个常用基本不等式(1)柯西不等式：柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2(当且仅当adbc时，等号成立).柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则|，等号当且仅当，共线时成立.柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3R，则.柯西不等式的一般形式：设n为大于1的自然数，ai，bi
6、 (i1，2，n)为实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，等号当且仅当时成立(当ai0时，约定bi0，i1，2，n).(2)算术几何平均不等式若a1，a2，an为正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立.考点一绝对值不等式的解法及利用绝对值不等式求最值【例11】 (2019全国卷)已知函数f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x1的解集为.(2)由题设
7、可得，f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1，0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，).规律方法形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(，a，(a，b，(b，)(此处设ab)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|xa|xb|c(c0)的几何意义：数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1|xa|xb|和y2c的图象，
8、结合图象求解.【例12】 (1)对任意x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值.(2)对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值.解(1)x，yR，|x1|x|(x1)x|1，|y1|y1|(y1)(y1)|2，|x1|x|y1|y1|123.|x1|x|y1|y1|的最小值为3.(2)|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.规律方法求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义.(2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|.(3)利用零点分区间法.考点二绝对值不等式的综合应用【例
9、2】 (2019全国卷)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集.(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.(1)解f(x)当x时，由f(x)2得2x1，所以1x；当x时，f(x)2；当x时，由f(x)2得2x2，解得x1，所以x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1.(2)证明由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0，即(ab)2(1ab)2，因此|ab|1时，等价于a1a3，解得a2.所以实数a的取值范围是2，).考点三证明不等式【例31】 若a，bR，求证：.证明当|ab|0时，不等式显然成立.当|ab|
10、0时，由0|ab|a|b|，所以.规律方法(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换有：变换分式的分子和分母，如，.上面不等式中kN*，k1；利用函数的单调性；真分数性质“若0a0，则”.(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度.【例32】 设a，b，c0，且abbcca1.求证：(1)abc；(2) ().证明(1)要证abc ，由于a，b，c0，因此只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca).即证：a2b2c2abbcca.而这可以由abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)证得.原不等式成立.(2).由于(1)中已证abc.因此要证原不等式成立，只需证明 .即证abc1，即证abcabbcca.而a，b，c.abcabbcca.原不等式成立.规律方法当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.【训练2】 设n是正整数，求证：1.证明由2nnk
