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1、等比数列的性质(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.在等比数列an中,若a1=1,a5=16,则a3=()A.2 B.-4 C.4或-4 D.4【解析】选D.由已知=16,又a3与a1同号,所以a3=4.2.已知等比数列an中,a3a13=16,则a8的值等于()A.4B.8C.4D.8【解析】选C.因为=a3a13=16,所以a8=4.3.已知等比数列满足a5+a8=2,a6a7=-8,则q3=()A.-B.-2C.-或-2D.2【解析】选C.由等比数列的性质可知,a5a8=a6a7=-8,因为a5+a8=2,所以a5=4,a8=-2,或a5=-2,a8=4,所以q3=-2
2、或-.4.已知在等比数列an中,a1=1,a3+a5=6,则a5+a7=()A.12B.10C.12D.6【解析】选A.因为a1=1,a3+a5=6,所以a3+a5=q2+q4=6,即q4+q2-6=0,即(q2-2)(q2+3)=0,解得q2=2,所以a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12.5.若数列an是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8,则其公比q为()A.B.C.2D.3【解析】选C.因为数列an是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8=a1a4,可得a1,a4为一元二次方程x2-9x+8=0的两个实数根,所以a1+a4=9,a1a4=a2a3=8,解得a
3、1=1,a4=8或a1=8,a4=1(舍去),所以q3=8,解得q=2.6.已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab等于()A.6B.-6C.6D.12【解析】选C.因为a=,b2=(-1)(-16)=16,则b=4,所以ab=6.二、填空题(每小题5分,共10分)7.在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为_.【解析】设插入的三个数为a2,a3,a4令a1=,a5=,则=a2a4=a1a5=36.又a3,a1同号,故a3=6,因此a2a3a4=216.答案:2168.已知an是等比数列,且an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5
4、=_.【解析】因为an是等比数列,且an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,所以+2a3a5+=25,即(a3+a5)2=25,则a3+a5=5.答案:5三、解答题(每小题10分,共20分)9.在等比数列an中,各项都是正数,a6a10+a3a5=41,a4a8=4,求a4+a8.【解析】因为a6a10=,a3a5=,故+=41,所以(a4+a8)2=+2a4a8=41+8=49,又数列an各项均为正数,所以a4+a8=7.10.已知数列an前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n(nN*).证明:an+2是等比数列,并求an的通项公式.【解析】由已知,Sn=2an-2n(nN*),Sn-
5、1=2an-1-2(n-1)(n2),两式相减得an=2an-1+2,即an+2=2(an-1+2),=2,又因为S1=2a1-2=a1,得a1=2,所以a1+2=4,所以an+2是首项为4,公比为2的等比数列,an+2=42n-1,an=42n-1-2=2n+1-2(n2),又因为a1=2,所以an=2n+1-2(nN*).(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知等比数列an,a1=1,a3=,则a2等于()A.-B.C.D.【解析】选D.由等比数列的性质,a1a3=,所以a2=.2.在正项等比数列an中,lg a3+lg a6+lg a9=6,则a1a11的值是()A.
6、10 000B.1 000C.100D.10【解析】选A.因为lg a3+lg a6+lg a9=6,所以lg(a3a6a9)=6,即=106,故a6=100,因此a1a11=10 000.3.已知等比数列an满足a5+a8=2,a6a7=-8则a2+a11=()A.5B.-5C.7D.-7【解析】选D.等比数列an有a5a8=a6a7=-8,而a5+a8=2,联立组成方程组,或,设公比为q.当时,解得,a2+a11=a1q+a1q10=-8+1=-7;当时,解得,a2+a11=a1q+a1q10=1-8=-7.4.已知a,b,c,d成等比数列,且曲线y=x2-2x+3的顶点是(b,c),则a
7、d等于()A.3B.2C.1D.-2【解析】选B.因为y=(x-1)2+2,所以b=1,c=2,又因为a,b,c,d成等比数列,所以ad=bc=2.5.等比数列an的各项均为正数,已知向量a=(a4,a5),b=(a7,a6),且ab=4,则log2a1+log2a2+log2a10=()A.12B.10C.5D.2+log25【解析】选C.向量a=(a4,a5),b=(a7,a6),且ab=4,所以a4a7+a5a6=4,由等比数列的性质可得:a1a10=a4a7=a5a6=2,则log2a1+log2a2+log2a10=log2(a1a2a10)=log2(a1a10)5=log225=
8、5.二、填空题(每小题5分,共20分)6.(2019湖南五市十校高二检测)已知数列是递增的等比数列, a1+a4=6,a2a3=5,则a7=_.【解析】由等比数列的性质知道,因为a2a3=5,所以a1a4=5,因为a1+a4=6,解得或,由于数列是递增的等比数列,故因为a42=a1a7,所以a7=25.答案:257.已知数列an的首项为3,等比数列bn满足bn=,且b1 009=1,则a2 018的值为_.【解析】因为bn=,且a1=3,所以b1=,b2=,bn-1=,相乘可得=b1b2bn-1,=b1b2b2 017=(b1b2 017)(b2b2 016)(b1 008b1 010),因为
9、b1 009=1,b1b2 017=b2b2 016=b1 008b1 010=(b1 009)2=1,所以=1,a2 018=3.答案:38.数列an的首项为1,数列bn为等比数列且bn=,若b10b11=2,则a21= _.【解题指南】解答本题首先要注意b1b2b3b20=a21,另外要注意根据b10b11=2用等比数列性质求b1b2b3b20.【解析】因为bn=,所以b1=,b2=,b3=,b20=.以上各式相乘,得b1b2b3b20=a21,因为数列bn为等比数列,所以b1b20=b2b19=b3b18=b10b11=2,所以a21=b1b2b3b20=210=1 024.答案:1 0
10、249.在等比数列an中,若a7+a8+a9+a10=,a8a9=-,则+=_.【解析】因为a7+a8+a9+a10=,a8a9=a7a10=-,所以+=-.答案:-【一题多解】因为a7+a8+a9+a10=,a8a9=-,所以=-,即+=-.又a7a10=a8a9,所以+=-.所以+=-.答案:-三、解答题(每小题10分,共30分)10.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(nN*).(1)求a1,a2,a3的值.(2)设bn=an+3,证明数列bn为等比数列,并求通项公式an.【解析】(1)由已知,当n=1时,a1=S1=2a1-31,解得a1=3,当n=2时,S2=2a2-
11、32=a1+a2,解得a2=9,当n=3时,S3=2a3-33=a1+a2+a3,解得a3=21.(2)因为Sn=2an-3n,所以=2-3(n+1),两式相减得=2an+3,所以=2,又因为b1=a1+3=6,所以bn是首项为6,公比为2的等比数列,bn=6,所以an=bn-3=6-3=3(2n-1).11.等差数列an的前n项和为Sn,已知S3=,且S1,S2,S4成等比数列,求an的通项公式.【解析】设an的公差为d.由S3=,得3a2=,故a2=0或a2=3.由S1,S2,S4成等比数列,得=S1S4.又S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d,故(2a2-d)2=(a2-
12、d)(4a2+2d).若a2=0,则d2=-2d2,所以d=0,此时Sn=0,不符合题意;若a2=3,则(6-d)2=(3-d)(12+2d),解得d=0,或d=2.因此an的通项公式为an=3或an=2n-1.12.已知数列an的前n项和Sn=3n2+5n,数列bn中,b1=8,64bn+1-bn=0,问是否存在常数c,使得对任意的正整数n(nN*),an+logc bn恒为常数m?若存在,求出常数c和m的值;若不存在,请说明理由.【解题指南】先求出an与bn,假设存在c与m,利用n的任意性建立c,m的方程,判断解是否存在.【解析】因为Sn=3n2+5n,所以当n2时,an=Sn-Sn-1=
13、6n+2,而a1=S1=8适合上式.所以an=6n+2,由64bn+1-bn=0得=,所以bn是首项为8,公比为8-2的等比数列.所以bn=8(8-2)n-1=83-2n.假设存在常数c和m,使an+logc bn=m恒成立,则6n+2+logc 83-2n=m,即(6-2logc 8)n+(2+3logc 8)=m,对任意nN*恒成立.所以解得所以存在常数c=2,使得对任意nN*,恒有an+logcbn=11.【补偿训练】设关于x的二次方程anx2-x+1=0(n=1,2,3,)有两根和,且满足6-2+6=3.(1)试用an表示.(2)求证:是等比数列.(3)当a1=时,求数列an的通项公式及项的最值.【解析】(1)由根与系数的关系得代入6(+)-2=3得-=3,所以=an+.(2)因为=an+,所以-=.若an=,则方程anx2-x+1=0可化为x2-x+1=0,即2x2-2x+3=0,此时=(-2)2-4230,所以an,即an-0,所以是公比为的等比数列. (3)当a1=时,a1-=,所以是首项为,公比为的等比数列,所以an-=,所以an的通项公式为an=+,n=1,2,3,.由函数y=在(0,+)上单调递减知当n=1时,an的值最大,最大值为a1=.
