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1、一元二次方程根的分布一知识要点二次方程的根从几何意义上来说就是抛物线与轴交点的横坐标，因此研究方程的实根的状况，可从的图象上进行研究若在内研究方程的实根状况，只需考察函数与轴交点个数及交点横坐标的符号，根据鉴别式以及韦达定理，由的系数可判断出的符号，从而判断出实根的状况若在区间内研究二次方程，则需由二次函数图象与区间关系来拟定1二次方程有且只有一种实根属于的充要条件若其中一种是方程的根，则由韦达定理可求出另一根若不是二次方程的根，二次函数的图象有如下几种也许： （1） （2） （3） （4） 由图象可以看出，在处的值与在处的值符号总是相反，即；反之，若，的图象的相对位置只能是图中四种状况之一因
2、此得出结论：若都不是方程的根，记，则有且只有一种实根属于的充要条件是 2二次方程两个根都属于的充要条件方程的两个实根都属于，则二次函数的图象与轴有两个交点或相切于点，且两个交点或切点的横坐标都不小于不不小于，它的图象有如下几种情形： （1） （2）（3） （4）由此可得出结论：方程的两个实根都属于区间的充要条件是： 这里 同理可得出：3二次方程的两个实根分别在区间的两侧（一根不不小于，另一根不小于）的充要条件是： 这里4二次方程的两个实根都在的右侧的充要条件是： 二次方程的两个实根都在的左侧（两根都不不小于）的充要条件是： 这里二例题选讲例设有关的方程R），（1）若方程有实数解，求实数b的取值
3、范畴；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。例已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0).若方程f(x)=x无实根，求证：方程ff(x)=x也无实根例设，若，求实数的取值范畴变式：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一种根不不小于1，求m的取值范畴例已知方程有两个负根，求的取值范畴例求实数的范畴，使有关的方程（）有两个实根，且一种比大，一种比小（）有两个实根，且满足（）至少有一种正根例 已知有关x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1) 若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内
4、，求m的范畴.(2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范畴.变式：已知方程2x2 2(2a-1)x + a+2=0的两个根在-3与3之间，求a的取值范畴例已知二次方程的两个根都不不小于1，求的取值范畴变式：如果二次函数y=mx2+(m3)x+1的图象与x轴的交点至少有一种在原点的右侧，试求m的取值范畴.例已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范畴二次方程实根分布的某些措施除了直接用于鉴别二次方程根的状况，在其他的某些场合下也可以合适运用下面再举两个例子：例求函数y = (1x0,求证(1) pf()0;(2) 方程f(x)=0在(0，1)内恒有解。参照答案例分析：可用换元法，
5、设，原方程化为二次方程，但要注意，故原方程有解并不等价于方程有解，而等价于方程在内有解此外，方程有解的问题也可以通过参变分离转化为求值域的问题，它的原理是：若有关的方程有解，则的值域解：（1）原方程为，时方程有实数解；（2）当时，方程有唯一解；当时，.的解为；令的解为；综合、，得1）当时原方程有两解：；2）当时，原方程有唯一解；3）当时，原方程无解。例证明：方程f(x)=x即f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0无实根，f(x)-x仍是二次函数，f(x)-x=0仍是二次方程，它无实根即=(b-1)2-4ac0 若a0，则函数y=f(x)-x的图象在x轴上方， y0，即f(x)-x0恒成立，
6、即：f(x)x对任意实数x恒成立。 对f(x)，有f(f(x)f(x)x恒成立 f(f(x)=x无实根 若a0，函数y=f(x)-x的图象在x轴下方 y0，即f(x)-x0恒成立 对任意实数x，f(x) 0恒成立 对实数f(x)，有：f(f(x)f(x)x恒成立 f(f(x)=x无实根 综上可知，当f(x)=x无实根时，方程f(f(x)=x也无实根例分析：观测到方程有两个实根，故此题不妨用求根公式来解决解：因有两个实根 ，故等价于且，即且，解之得变式：解：原方程即为 (x + 1)(x + 3m-2)=0，因此方程两根分别为-1, 2-3m，而-1在(-3,1)上，则由题意，另一根满足 -32
7、-3m3 - m .例解：依题意有例解：设（） 依题意有，即，得（） 依题意有解得：（）方程至少有一种正根，则有三种也许：有两个正根，此时可得，即有一种正根，一种负根，此时可得，得有一种正根，另一根为，此时可得综上所述，得例解：(1)条件阐明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，则 ，实数m的范畴是.(2)据抛物线与x轴交点落在区间 (0，1) 内，列不等式组 - m1-, 实数m的范畴是.变式：解：设f(x) = 2x2 2(2a-1)x + a+2，则原方程两根都属于 (-3, 3)的充要条件为 - m或m0(1)当m0时，二次函数图象与x轴
8、有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.(2）当m0时，则解得0m1综上所述，m的取值范畴是m|m1且m0.例解析1：函数在区间-1，1上有零点，即方程=0在-1，1上有解， a=0时，不符合题意，因此a0,方程f(x)=0在-1，1上有解或或或或a1.因此实数a的取值范畴是或a1.解析2：a=0时，不符合题意，因此a0,又=0在-1，1上有解，在-1，1上有解在-1，1上有解，问题转化为求函数-1，1上的值域；设t=3-2x，x-1，1，则，t1,5,，设，时，此函数g(t)单调递减，时，0,此函数g(t)单调递增，y的取值范畴是，=0在-1，1上有解或。例解：原函数即为 y (x2-3x+2
9、)=x+1, yx2-(3y+1)x+2y-1=0, 由题意，有关的方程在(1,2)上有实根易知y0, 令f(x)= yx2-(3y+1)x+2y-1，则f(1)= -20, f(2)= -30，因此方程在(1,2)上有实根当且仅当 ，解得y-5-2. 原函数的值域为 (-, -5-2.例10解：以(0,0), (1,1)为端点的线段所在直线为y=x，代入抛物线方程得： x = 2x2-mx+m 即 2x2-(m+1)x+m=0, 由题意，方程在区间(0, 1)上有实根，令f(x) = 2x2-(m+1)x+m，则当且仅当f(0)f(1)0或 m0或 m3-2且m0故m的取值范畴为 (-, 0)(0, 3-2.巩固练习1解：易知x1 = -1是方程的一种根，则另一根为x2 = ，因此原方程有且仅有一种实根属于( -1, 1)当且仅当 -1 1，即 m ， m的取值范畴为 (-,- )( , +).2解：令，当时，由于是一一映射的函数，因此在上有两个值，则在上有两个相应的值因而方程在（0，2）上有两个不等实根，其充要条件为 由（1）得： ，由（2）得： ，由（3）得： 或，由（4）得： ，即的取值范畴为3解：设
