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1、利用几何直观理解高等代数中抽象的定义和定理一、高等代数与解析几何的关系代数为几何的发展提供了研究方法，几何为代数提供直观背景。解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识、定义来刻画、描述和表 达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的 线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量 的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许 多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概 念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。“如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围
2、也很 有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完 善化的方向猛进。”拉各朗日二、目前将高等代数与解析几何合并开课的大学中国科大：陈发来，陈效群，李思敏，线性代数与解析几何，高等教育出版社，北京：2011.南开大学：孟道骥，高等代数与解析几何（上下册）（第二版），科学出版社，北京:2007.华东师大：陈志杰，高等代数与解析几何 （上下册）（第 2版），高等教育出版社，北京：2008.华中师大：樊恽，郑延履，线性代数与几何引论，科学出版社，北京：2004.同济大学：高等代数与解析几何同济大学应用数学系高等教育出版社（2005-05出 版）兰州大学，广西大学，西南科技大学
3、，成都理工大学三、高等代数的特点1、逻辑推理的严密性；2、研究方法的公理性；3、代数系统的结构性。四、高等代数一些概念的引入对于刚上大学的一年级新生, 大多数难以适应高等代数的抽象概念的引入、推导 和应用。通过一些实例，特别是几何实例，引入高等代数的相关概念，一方面可 以让学生了解抽象概念的来龙去脉，另一方面可以让学生找到理解抽象概念的思 维立足点。序号实例高等代数的相关概念及理论1中学代数的多项式四则运 算多项式及其加、乘运算的严格定义，并在 此基础上，介绍多项式的整除理论和最大 公因式理论.2中学代数的多项式因式分 解方法用不可约多项式的严格定义解释“不可 再分解”的含义，给出了不可约多项
4、式的 性质、唯分解定理及不可约多项式在三 种常见数域上的判定.3中学代数的兀次方程、 元二次方程的解法以及 元二次方程根与系数的 关系给出了 兀n次方程根的定义、复数域上 元n次方程根与系数的关系以及根的个 数、实系数兀n次方程根的特点、有理 系数元n次方程有理根的性质以及求 法.4中学代数的二兀次方程 组、三元 次方程组的消元 解法引入行列式的定义，进步介绍了线性方 程组的行列式解法和矩阵消元解法，给出 了线性方程组解的结构.5中学几何中的R2,R3及其向 量对加法和数乘运算满足8 条运算规律，R2,R3中过原 点的直线、平面推广为n维向量空间Pn，通过8条运算规律抽象出一般线性空间的概念，
5、引入线 性空间的子空间6中学几何中的R2,R3的直角坐标系，向量的坐标线性空间的基、欧氏空间的标准正交基， 向量的坐标7中学几何中的R2,R3的向量的内积、模和夹角，三角形 不等式欧氏空间的定义，欧氏空间向量的模和夹 角，两点间距离的性质8R3中向量在平面上的投影欧氏空间向量在子空间的投影9R2,R3中有心二次曲线和二 次曲面的分类二次型通过正交替换化为标准形10R2,R3中向量在一个给定向量或平面上的投影，坐标系 的旋转线性空间中的线性变换，欧氏空间中的正 父变换五、高等代数的一些概念的几何解析 高等代数中相关概念和定理的几何解析，可以使学生更容易把握这些概念和 定理的几何本质，更容易直观地
6、理解这些抽象的概念和定理，从而可以提高学生 运用这些抽象的概念和定理去解题的能力。1. 线性代数中“线性”的几何意义线性代数是高等代数的一个分支，有线性空间、线性映射、线性变换、线性方程 组、线性相关性等概念。哪究竟这里的“线性”的直观理解是什么？简单地说， 就是因变量与自变量之间的关系可以描述为一条直线，例如线性函数 y二f(x)二ax+b,最简单的情形就是过原点的直线y二f(x)二ax。而对于过原点的直线y=f(x)=ax，其满足可加性和比例性，即f (X + x )二 f (x ) + f (x ), f (kx)二 kf (x),或者 f (kx + k x )二 kf (x ) +
7、k f (x )。1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2一句话，线性组合的函数，等于函数的线性组合。将这种关系推广到高维的情形：Y=AX, 0 = a ,AX=b.2. 行列式的几何意义(1)二级行列式的几何意义二级行列式D二2a1bia2b2是xoy平面上以行向量a= (a ,a )和b= (b ,b )为邻边的1 2 1 2平行四边形的有向面积：若这个平行四边形是由向量a沿逆时针方向转到b而得 到的，面积取正值;若这个平行四边形是由向量a沿顺时针方向转到b而得到的, 面积取负值。另外，二级行列式的另一个几何意义就是是两个行向量或列向量的叉积axb的 数值。（2）三级行列式的几何意义
8、三级行列式的几何意义是其行向量或列向量所张成的平行六面体的有向体积。yy1yx推论2：过平面上两点（x ,y ）, （x ,y ）的直线方程为x11 2 2 1x3. 矩阵乘积的几何意义 要说到矩阵的乘积的几何意义，我们首先要了解矩阵的发展历程：1801年德国数学家高斯(F.Gauss )把一个线性变换的全部系数作为一个整 体。1844年，德国数学家爱森斯坦(F.Eissenstein )讨论了“变换”(矩阵) 及其乘积。1850年，英国数学家西尔维斯特(J. J. Sylvester )首先使用矩阵一词。 1858年，英国数学家凯莱(A.Cayley ,)发表关于矩阵理论的研究报告。 他首先
9、将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，并在这个主题上首先发表 了一系列文章，因而被认为是矩阵论的创立者，他给出了现在通用的一系列 定义，如两矩阵相等、零矩阵、单位矩阵、两矩阵的和、一个数与一个矩阵 的数量积、两个矩阵的积、矩阵的逆、转置矩阵等。矩阵实质上就是一个线性变换。矩阵乘积实质就是线性变换的复合。下面来看R 2中的一个简单例子：yT Z 二z11I y丿I z丿Y 二22z 二 b y + b y111 112 2 ，z 二 b y + b y221 122 2即 Z=BY ，21b12b22r x)r y )f y 二=a x + a xa aX 二1T Y 二1:V111 112 2
10、，即 Y=AX，A 二11 12Ix J2I yJ2y 二2二 a x + a x21 1 22 2a a21 22r x)1 T Z =Ix丿2r z)1I z丿2z 二(ba+ b a)x+ (ba+ b a)x口口1 11 1112 21111 1212 222，即 Z=CX,z 二(ba+ b a)x+ (ba+ b a)x2 21 1122 21121 1222 222b a+ bab a+ baC 二 11 1112 2111 1212 22b a+ bab a+ ba21 1122 2121 1222 22b a + b a11 12 12 22 b a + b a21 12 2
11、2 22亠十 口、b a + b a又有Z=BAX，于是定义BA二11 1112 21b a + b a21 11 22 214. 向量组线性相关(无关)与几何中向量共面、共线之间的关系若a,卩,丫是三维空间的向量,贝V： a线性相关;a,卩线性相关；a,卩,丫线性相关对应几何直观分别为a为零向量；a,卩共线；a,卩，丫共面。因此，一维空间的 基是空间中任意一个非零向量；二维空间的基是空间中两个不共线向量 ；三维空 间的基是空间中 3 个不共面的向量组成的。5. 向量组正交化的几何解释线性无关的向量组可以由Schmidt正交化得到与其等价的正交组,它的几何解释 为,如果有3个线性无关的向量a ,a ,a则可以通过Schmidt正交化得到相应的1233个正交向量p ,p ,P。这里p =a , p =a -y , p =a -y ，其中丫为a1 2 3 1 1 2 2 2 3 3 3 2 2在p上的投影向量；y为a在p ,p所确定的平面上的垂直投影向量。1 3 3 1 2
