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1、一百年前的数学界有两位泰斗：庞加莱和希尔伯特，而尤以后者更加出名，我想主要原因是他曾经在1900年的世界数学家大会上提出了二十三个著名的希尔伯特问题，指引了本世纪前五十年数学的主攻方向，不过还有一个原因呢，我想就是著名的希尔伯特空间了。 希尔伯特空间是希尔伯特在解决无穷维线性方程组时提出的概念，原来的线性代数理论都是基于有限维欧几里得空间的，无法适用，这迫使希尔伯特去思考无穷维欧几里得空间，也就是无穷序列空间的性质。 大家知道，在一个欧几里得空间Rn上，所有的点可以写成为：X=（x1，x2，x3，.，xn）。那么类似的，在一个无穷维欧几里得空间上点就是：X= （x1，x2，x3，.xn，.），
2、一个点的序列。 欧氏空间上有两个重要的性质，一是每个点都有一个范数（绝对值，或者说是一个点到原点的距离），|X|2=xn2，可是这一重要性质在无穷维时被破坏了：对于无穷多个xn，xn2可以不存在（为无穷大）。于是希尔伯特将所有xn2为有限的点做成一个子空间，并赋以 X*X=xn*xn 作为两点的内积。这个空间我们现在叫做 l2，平方和数列空间，这是最早的希尔伯特空间了。 注意到我只提了内积没有提范数，这是因为范数可以由点与自身的内积推出，所以内积是一个更加强的条件，有内积必有范数，反之不然。只有范数的空间叫做Banach空间，（以后有时间再慢慢讲:-） 。 如果光是用来解决无穷维线性方程组的话
3、，泛函就不会被称为现代数学的支柱了。 Hilbert空间中我只提到了一个很自然的泛函空间：在无穷维欧氏空间上xn2为有限的点。这个最早的Hilbert space叫做l2（小写的l 上标2，又叫小l2空间），非常类似于有限维的欧氏空间。 数学的发展可以说是一部抽象史。最早的抽象大概是一个苹果和一头牛在算术运算中可以都被抽象为“一”，也就是“数学”本身的起源（脱离具体物体的数字运算）了，而Hilbert space理论发展就正是如此：“内积 + 线性”这两个性质被抽象出来，这样一大类函数空间就也成为了Hilbert space。 单位闭区间上所有平方可积的实函数（就是说 f（x）的平方在0，1上
4、的积分存在且有限）按照函数的加法和数乘成为一个线性空间，然后我们定义内积如下：= |f*g|dx，范数f=根号=根号（f）2dx。容易验证它们满足内积和范数的几个公理（有兴趣的同学可以随便翻翻任何一本泛函书）。这样把（平方可积）函数看作一个个的点，由函数线性运算和以上定义的内积就构成一个函数空间，叫做L2（大L2空间）。 经过一些推理以后，可以证明（约化后的）L2空间等价于小l2空间（这个等价是指一种完全保留线性运算和内积的一一映射，我在这里就不具体讲了）。 由于这个性质证起来简单，所以一般的泛函教科书都没有怎么重点提这个定理。可是对我而言，它却是最有启发性的定理之一。这个定理我认为是继笛卡尔
5、发明了坐标系把几何和代数联系起来以后这方面最伟大的成就，因为有了这个定理，我们就可以真正把一个函数也看作是某个空间里的一个点，而且在这个空间里也有距离：（f，g）=f-g，有内积用来定出基，也就是坐标系（L2的坐标系有很多种，最出名和常用的是三角函数系），换一句话说，我们可以用几何的工具来研究一族函数的性质了。 说了这么半天，恐怕很多人还不知道为什么这们学科叫做*泛函*分析。 什么是函数? 最狭义的函数恐怕就是从实数（R1）到实数的映射了。现在我们把定义域扩展为所有Hilbert space上的点（经常本身就是一个函数了，象L2），值域不变仍然为实数，这样的映射就是所谓的泛函数简称泛函了。就像
6、函数在实数理论里面占的地位一样，泛函在整个泛函分析里面也起到举足轻重的作用。 最简单而又不太trivial的实函数大概就是线性函数了，同样的，泛函分析也从线性泛函讲起.（球星是个例外，我当时被迫从非线性泛函课开始，那个飞机坐的.） 实数上有多少线性函数呢? 无穷多? 当然是:-），那么有多么无穷多? 我们知道所有线性实函数都具有这种形式：f（x）=kx，k是一个实数。而且反过来说，不同的k都对应着一个不同的线性实函数。这样我们就有了一个从R1上所有线性实函数到R1自身的一一对应。也就是说，这个函数空间和R1自身等价。 对于Hilbert space也有类似的结论：一个Hilbert space
7、的对偶空间（就是所有它的线性连续泛函组成的空间）等价于它自身，进一步，所有的线性连续泛函 I（f）: H- R 可以表示成为内积的形式: I（f）= for some g* in H。（对了在这里再重新提一下，常用的平方可积函数空间L2的内积是积分的形式: f*g，f，gL2，所以所有的线性连续泛函就都是带一个因子g的积分了.） 这个Hilbert space上最根本的定理几乎把Hilbert space和Euclidean space（欧几里得空间）等同起来了，在那时大家都很高兴，毕竟Euclidean space的性质我们了解的最多，也最“好”。 狄立克莱（Dirichlet）原理就是在这
8、个背景下提出的：任何连续泛函在有界闭集上达到其极值。这个结论在Euclidean space上是以公理的形式规定下来的（参见数学分析的实数基本定理部分），具体说来就叫做有界闭集上的连续函数必有极值，而且存在点使得这个函数达到它。 在拓扑学上等价于局部紧性的这个东东，很可惜在一般的Hilbert space上却是不成立的：闭区间0，1上的L2空间有一个很自然的连续泛函：I（f）=|f（x）|dx。容易证明，它的范数I=sup|I（f）|/f=1.在这个L2的单位闭球面（所有范数等于1 的f）上存在这么一个子序列：f_n（x）=n，当x0，1/n2; f_n（x）=0，当x1/n2。按照L2上范数
9、的定义，f_n=f2（x）dx =1，for all n。0I（f）=I在这个有界闭集上的最小值0，而且I（f_n）=1/n0。但是我们看到，当f_n弱收敛到常函数零时，它已经不在单位闭球面上了（严格的证明可以在一些课本上找到）。 一、定义 线性完备内积空间称为Hilbert space。 线性（linearity）：对任意f，gH，a，bR，a*f+b*g仍然H。 完备（completeness）：对H上的任意柯西序列必收敛于H上的某一点。相当于闭集的定义。 内积（inner product）：一个从HH-R 的双线性映射，记为。它满足： i）0，=0 f=0； ii）=a*= for an
10、y a in R； iii）=+； iv）= 在复内积里是复数共轭关系 内积诱导的范数（norm）：f=，它满足范数公理： i）f0，f=0 f=0； ii）a*f=a*f，for any a in R； iii）f+gf+g三角不等式。 范数诱导的距离（distance）：（f，g）=f-g，它满足距离公理： i）（f，g）0，（f，g） =0 f=0; ii）（f，g）=（g，f） iii）（f，g）+（g，h）（f，h）。 一个距离空间称为是紧的，如果每一个有界序列必有收敛子列。 Hilbert space上的序列f_n强收敛于g，如果f_n-g收敛于零； Hilbert space上的
11、序列f_n称为是一个柯西序列，如果f_n-f_m收敛于零当m，n-； Hilbert space上的序列f_n弱收敛于g，如果对于任何一个线性连续泛函I，|I（f_n）-I（g）|收敛于零。 Hilbert space上的泛函I（f）称为线性，如果它满足：对任意f，gH，a，bR，I（a*f+b*g）=a*I（f）+b*I（g）； Hilbert space上的泛函I（f）称为有界，如果I有界； Hilbert space上的泛函I（f）称为连续，如果对于任意柯西序列f_n，I（f_n）是R 上的柯西序列。 泛函I（f）的范数定义为 sup|I（f）|/f，for all fH。它的一个等价定
12、义是sup|I（f）|，for all fH such that f=1，也就是单位球面上的极大值。 从定义立刻可以看到，|I（f）|I（f）*f。 二、定理 1、完备的线性赋范空间上线性泛函的有界性与连续性等价。可以推广到算子，并且Hilbert space是完备的线性赋范空间（Banach space）的一个特例。 2、Hilbert space上线性连续泛函可以完全由内积表示，并且这种表示是一一对应的。 3、Hilbert space上存在一组正交标准基（f_1，f_2，.），使得所有gH均有一个表示：g=a_n*f_n，其中的a_n 叫做第n个投影或者坐标值，a_n=。 4、自反空间（Hilbert space是其中一种）的有界序列必有弱收敛子序列，这个性质叫做弱紧性。 5、任何H上的闭线性子空间M均满足射影性质：对任意点 fH，存在 gM，hM的线性补空间，使得 f=g+h。 本文来自CSDN博客，转载请标明出处：http:/
