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1、第三讲分类数据的检验一、引例十九世纪伟大的英国生物学家孟德尔（Mendel）按颜色与形状把豌豆分为四类：黄而圆的，青而圆的，黄而有角的，青而有角的。按照遗传学理论，孟德尔指出这四类豌豆的个数之比为9:3:3:1，也即豌豆为黄而圆的，青而圆的，黄而有角的，青而有角的概率分别为 9/16，3/16 ，3/16 ，1/16 。他通过观察 n 556个豌豆发现，这四类豌豆的个数分别为 315，108，101，32。如何根据这些观察数据对孟德尔的遗传学理论进行检验？分析：（ 1）总体为所有的豌豆，豌豆按颜色和形状分为四类：A1 黄而圆的， A2 青而圆的， A3 黄而有角的， A4 青而有角；（ 2）每
2、种豌豆的比率（概率）分别为：p1P(A1) ， p2 P( A2 ) ，p3P(A3 ) ， p4P(A4 ) ，但未知；（ 3）根据理论或经验提出假设：1，23 16， 3， 4；p 9 16pp 3 16p1 16（ 4）做试验获得观察数据形状圆的有角的黄色315101颜色青色108321（ 5）根据观察数据检验如下假设：H0 ： p19 16， p23 16 ， p33 16， p4 1 16若接受 H0 ，说明观察数据符合孟德尔的遗传学理论，也即说明孟德尔的遗传学理论正确；若拒绝 H0 ，说明观察数据不符合孟德尔的遗传学理论，也即说明孟德尔的遗传学理论不正确。二、分类数据检验问题的统计
3、模型（一）问题的一般提法1、总体分布设总体根据某项指标分为n 类，记为 A1, A2,L , Ar ，各类所占的比例记为 p1, p2 ,L , pr ，其中 pi0， rpi 1 ，但 pi 未知。也即总体分布i1为：总体类别比例2、假设检验A1A2LArp1p2Lpr根据理论，或从经验出发提出一个原假设：H: pp，i1,2,L ,r（* ）0ii 0其中i0 ， i1,2,L,r 已知，且 rpi0 1。pi13、研究内容对该总体独立重复观察n 个个体，记 n 个个体中，属于A i的观察2个数为 i ， i1,2,L ,r ，其中有 rnin ，基于观察值 i ， i1,2,L ,r 对
4、nni1原假设（ * ）进行检验。（二）检验方法、 2检验1（ 1）检验统计量2r (ninpi0 )2i 1npi 0（ 2）统计量的渐进分布若 H0 成立，当 n时，2r(ni npi0 )22Fi 1npi 0(r 1)（ 3）拒绝域（给定检验水平，一般取0.1,0.05,0.01）W 212(r 1)若 2 W ，则在检验水平 下拒绝 H0 ；若 2 W ，则在检验水平 下接受 H0 ；（ 4）检验 p 值（给定检验水平 ，一般取0.1,0.05,0.01）p P2 (r 1)2若若pp，则在检验水平下拒绝 H0 ；，则在检验水平下接受 H0 ；（ 5）注：2 检验采用近似分布进行检验
5、，要求样本容量大，一般 n50 ， npi05， i1,2,L ,r 。2、似然比检验随机向量 (n1,n2 ,L , nr ) M (n, p1, p2 ,L , pr ) ，即 (n1,n2 ,L ,nr ) 的联合分3布列为：p(n1,n2 ,L , nr ; p1, p2 ,L , pr )样本 (n1,n2 ,L ,nr ) 的似然函数为：L( p1, p2 ,L , pr ; n1,n2 ,L , nr )n!n1 !n2 !L nr !n!n1 !n2 !L nr !nnp11 p2 2 Lnn122L1ppnpr rnpr r检验问题（ * ）的似然比L( p10 , p20
6、,L , pr 0; n1,n2 ,L ,nr )Sup L( p1, p2 ,L , pr ;n1, n2 ,L , nr )p1 ,p2 ,L ,prn!n1n2Ln rn1 !n2 !Lnr !p10p20pr 0Supn!n1n2nrnr !p1p2L prp1,p2 ,L ,pr n1 !n2 !LnnrLn1020r0pp nn pr12 LSupp12pnrpp1,p2 ,L ,pr注：参数 p1, p2,L , pr 满足 rpi 1 ，似然比可以写为：i1L( p10 , p20,L , pr 0; n1 ,n2 ,L ,nr )SupL(p1, p2,L , pr ;n1,
7、 n2 ,L , nr )p1 , p2 ,L ,prnnr1020 Lnnnppprn1122 Ln112r 1rpr(1)Sup ppppL pp1,p 2 ,L ,pr 1求解SupnnLn(1p1p2Ln：p11p22prr 1 1pr 1 )rp1, p2 ,L , pr 1记Q( p, p, , p) pnpnLpn(1 ppLn1221112p )12Lr 11rrr 1 rln Q( p1, p2 ,Lr1ni ln pinrln(1 p1p2Lpr 1 ), pr 1)i14ln Q0p1令：ln Qp2Mln Qpr 100可得n1nrp1ppL p112r 1n2nrp2
8、1p1p2Lpr 1Mnr 1nrp1 p1 p2 L pr 1r 1r即 n1n2nr 1nrir 1niLnp1p2pr 1prpii 1也即参数 p1, p2,L , pr 的最大似然估计为：pini ， i 1,2,L , r?nnnrLrnnpi0ppp0则似然比1020nrn 1 n2 n2nrn1Lnnn（ 1）检验统计量rpi 02ln( ) 2ni lnni ni 1（ 2）统计量的渐进分布若 H0 成立，当 n时，rpi02ln( ) 2ni lnF2 (r 1)ni ni1（ 3）拒绝域（给定检验水平，一般取0.1,0.05,0.01）5W 2 ln( )12 (r1)若
9、若2ln()W ，则在检验水平下拒绝 H0 ；2ln()W ，则在检验水平下接受 H0 ；（ 4）检验 p 值（给定检验水平，一般取0.1,0.05,0.01）p P2 (r1) 2ln( )若 p，则在检验水平下拒绝 H0 ；若 p，则在检验水平下接受 H0 ；三、引例分析（ 1）记号A1 ：黄而圆的， A2 ：青而圆的， A3 ：黄而有角的，A4 ：青而有角；p1P(A1) ， p2P( A2 ) ， p3P(A3 ) ， p4P( A4 ) ；n1 ：黄而圆的豌豆个数，n2 ：青而圆的豌豆个数，n3 ：黄而有角的豌豆个数，n4 ：青而有角的豌豆个数；（2）观察数据n1 315， n2 108， n3101， n432， nn1
