《经济数学基础线性代数之第2章矩阵.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《经济数学基础线性代数之第2章矩阵.doc（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、经济数学基础之线性代数 第2章 矩阵第一单元 矩阵的概念一、学习目标通过本课程的学习理解矩阵的概念，知道矩阵与我们的日常工作的联系.二、内容讲解2.1 矩阵的概念整存整取定期储蓄存期三个月六个月一年二年年利率(%)2.884.145.675.94北京市居民抄表记录卡项 目1月份2月份3月份天然气m3252426电(kwh)135125130水m3889学生成绩表姓 名数 学语文英 语张建中808280林 勇758475王建明858083崔 也869090王 宾919095上面这些长方形表，抽象出来就是我们要讲的矩阵.这里对矩阵作一些说明： 矩阵一般用大写英文字母表示：如等xyO横向称行，竖向称
2、列.矩阵每一个位置上的数都是的元素， 如1是的第2行第2列的元素，记为：5是的第1行第4列的元素，记为： 补充内容：特别地，当时，矩阵只有一行，即称为行矩阵；当时，矩阵只有一列，即称为列矩阵；当时，矩阵的行列数相同，即称为阶矩阵（或阶方阵）在阶矩阵中，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线.行列数相同的矩阵称为同型矩阵. 两个矩阵的行数相等、列数也相等时，在矩阵中各个元素的前面都添加一个负号得到的矩阵称为的负矩阵，记作，即例如，这里是的负矩阵.问题：行矩阵和列矩阵是否为同型矩阵？答案 否.同型矩阵是指两矩阵的行、列数分别相同， 行矩阵是矩阵，列矩阵是矩阵的，
3、当时，不是同型矩阵，只有当时为同型矩阵.三、例题讲解例1 这是4行2列矩阵.四、课堂练习练习1 设，则是矩阵中第1行第3列的元素，是矩阵中第3行第4列的元素.矩阵中第行第列的元素为.，所以练习2 某中学初三年级（2）班45名学生第二学期期中考试五门主科成绩，按学号排序可列成下表（为简单起见，这里只列出一部分）：此表称之为该班学生的学习成绩表，如果仅将学生各科成绩排列出来，其矩阵为 .这是一个矩阵，第行表示第个同学各科的考试成绩，第列表示第 门课程每个同学的考试成绩，其中此表中每一个数字代表着某学科的考试成绩，列成矩阵的形式其中每一行表示某一个学生各科的成绩，每一列表示某一科目每个学生的成绩.将
4、学生各科成绩排列出来，写成一个矩阵的形式，此矩阵是一个矩阵，即为五、课后作业1.讨论一般线性方程组问题，线性方程组的表达方式为如果略去未知数记号和运算符号，如何用数表的形式表示线性方程组.2.举一些生活和工作中是常用的实例，如市场上的价目表，工厂中产量的统计表，银行中的存款利率表等等，将数表表示为矩阵.3.设矩阵是个矩阵，且有.4.写出的矩阵5.写出的负矩阵. 1. 2.略3.4.5.第二单元 矩阵的运算一、学习目标通过本课程的学习要理解矩阵运算的定义，熟练掌握矩阵的加法、数乘、减法、乘法和转置运算.二、内容讲解1. 矩阵相等例如，一日产量的统计表 一班第一天的产量为, 第二天的产量为, 由此
5、可以得到矩阵相等的定义若满足：(1) 同形；(2)对应元素分别相等，即, 则称. 2.矩阵加法，用记为的和，即规定如下：(1)同形，于是同形；(2) 对应元素分别相加.矩阵加法满足两条运算规律：性质1(交换律)性质2(结合律) 矩阵，记为，且3.矩阵的数量乘法-矩阵 -数，则(1)和同形；(2)，即中每个素都乘以特别地：，注意：中定义为，等式左边是数0与矩阵的乘积，而右边是零矩阵.矩阵减法定义为：即矩阵减矩阵等于加的负矩阵.其中 =， 1仅当时，才能做乘法.2若，则3若，则(行乘列法则) (矩阵乘法定义请阅读教材第2章定义2.5)矩阵乘法的运算性质 (数对矩阵的分配律) (矩阵的左分配律) (
6、矩阵的右分配律)4.矩阵的转置 设 将第一行元素写在第一列处，第二行元素写在第二列处，这样就可得到的转置矩阵. 转置矩阵的性质： = 补充内容数乘矩阵所满足的算律 设A，B为任意 k, h为任意实数，可以验证数与矩阵的乘法满足：（1）k (A+B)=k A+ k B（2）(k+ h)= k A+ h A（3）(k h)A=k(h A)（4）,问题思考1：设，则？答案. 因为 =所以.三、例题讲解例1 设，因为 ，所以 例2 设，求.解: 例3，求.解: 因为不同形，所以不能进行.例4 设，求，和.解：=2， =不能相乘例6 设，计算.解： = += = =例7 均为矩阵，问下列乘法能否进行，若
7、能，其乘积矩阵为几行几列？ 解：4阶， 3阶 四、课堂练习练习1 设，求. ；两同型矩阵可以做加法，且和矩阵是由两矩阵的对应元素相加而成.练习2 设矩阵，且有，求矩阵。此题是解矩阵方程，且题目中含有矩阵的转置运算和减法运算，求解时要先解出矩阵的表示式，再将具体解出来.由解出.练习3 已知，求. 解：利用矩阵乘法和矩阵相等求解.=五、课后作业1设，计算，.2计算下列各题：（1）；（2）；（3）；（4）（5）；（6）；（7）；（8）.3计算.4计算5计算（1）；（2）.6试证：若都与可交换，则，也与可交换.7试证：若可交换，则下列式子成立：8求与可交换的全体所有二阶矩阵.1，.2（1）； （2）；
8、 （3）； （4）； （5）0； （6）；（7）； （8）.345（1）； （2）67略；8（其中为任意常数）第三单元 几类特殊矩阵一、学习目标通过课程的学习要熟悉特殊矩阵，掌握单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵及对称矩阵的运算性质，并会利用特殊矩阵的性质进行简单的证明.二、内容讲解1.矩阵：所有元素都为零的矩阵。例如2.单位矩阵：主对角线上的元素全是1，其余元素全是0的阶矩阵，称为单位矩阵，记作或.3.数量矩阵：主对角线上的元素为同一个数，其余元素全是0的阶矩阵，称为数量矩阵，记作.4.对角矩阵主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵，即有时也，记作或5.三角矩阵主对角线上方的元素全为
9、零的方阵称为下三角矩阵，它形如 主对角线下方的元素全为零的方阵称为上三角矩阵，它形如上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵。有时也记作或6.对称矩阵若矩阵满足，则称为对称矩阵. 7.数量矩阵满足性质：阶数量矩阵与所有的阶矩阵可交换.即问题思考：设矩阵既为上三角矩阵又为下三角矩阵，则是什么矩阵？答案是对角矩阵.因为是上三角矩阵，即有主对角线以下的元素都为零，且又为下三角矩阵，则有主对角线以上的元素都为零，说明矩阵的非零元素只能在主对角线上，即矩阵是对角矩阵.三、例题讲解例1 设，求. 解： = 例2设为任意给定的矩阵，证明为对称矩阵.证: 因为所以为对称矩阵.（证必）四、课堂练习练习 试证：对于任
10、意方阵，是对称矩阵.利用转置矩阵的性质；设法证明等式成立. .五、课后作业1. 试证：（1）即，用对角矩阵左乘矩阵相当于的主对角线元素分别去乘的相应的行.（2） 即，用对角矩阵右乘矩阵相当于的主对角线元素分别去乘的相应的列.2. 试证：设与都是阶对称矩阵，则为对称矩阵的充分必要条件是与可交换.3. 试证： 设、都是阶矩阵，且为对称矩阵，则是对称矩阵.4. 若是实对称矩阵，且，证明：.1.略；2. 由已知条件，且，则有 ，得出与可交换. 已知，且，则有 ，得出是对称矩阵.3. 因为，所以是对称矩阵.4. 证明 设因为，所以第四单元 n 阶方阵的行列式一、学习目标通过本课程的学习要熟悉阶方阵行列式
11、的定义，掌握阶方阵行列式的乘积定理.二、内容讲解由于讨论矩阵性质的需要，引进阶方阵行列式的概念.1.定义阶方阵相应的行列式成为方阵的行列式，记作或.关于方阵的行列式有下面重要的定理.2.定理：对于任意两个阶方阵，总有即方阵乘积的行列式等于行列式的乘积.这个定理可以推广到多个阶矩阵相乘的情形.3.推论：若都是阶矩阵，则特别地问题思考：设矩阵为同阶矩阵，是否有？ 答案否.例如 设因为，；由此可得.三、例题讲解例1 设，计算. 解： =例2 设二阶矩阵，验证. 证: 因为；且；所以.（证必）四、课堂练习练习1 设，求分别计算出矩阵各自的行列式.利用行列式性质和矩阵行列式乘积定理.，. 练习2 设为3
12、阶方阵且，求. 由数乘矩阵知=.再由行列式性质，中每一行都有一个公因子，可以提出有.五、课后作业1. 设，求.2. 设是3阶矩阵，证明.3. 若是阶矩阵，且，则或.4. 设是阶矩阵，且满足，证明.1. ；2. 利用矩阵数乘的定义和行列式性质5即可得证.3. 证明：由方阵行列式定理，有 所以或.4. 证明：因为 所以 由于为数，所以=0.第五单元 可逆矩阵与逆矩阵一、学习目标通过本课程的学习要熟悉可逆矩阵和逆矩阵的概念，掌握可逆矩阵的性质和判定定理，了解伴随矩阵的定义构成，掌握用伴随矩阵方法求逆矩阵.二、内容讲解逆矩阵：可表为 1.可逆矩阵：设矩阵，如果存在一个矩阵，使得 （1）则称是可逆矩阵，
13、称是的逆矩阵，记为.例1设 ，；问：为吗？解：因为=，=；所以。例2 设，问：是否可逆？解:：A是不可逆的.什么叫逆阵？ 仅限于讨论方阵的逆阵； 不是所有方阵都有逆阵； 会验证是否为逆阵； 有了逆阵就相当于有了除法.问题思考： 究竟什么样的方阵有逆阵？ 如何求逆阵？2.可逆矩阵的性质由定义，称为的逆阵，称为的逆阵。性质1性质2若可逆，则证:因为 ；所以 性质3 若可逆，则证:因为 ；所以 性质4若，均可逆，则亦可逆，且证:因为 所以 性质5 若可逆，则是唯一的.证:设均为的逆阵，则，有3.伴随矩阵对于阶方阵，称阶方阵为的伴随矩阵，记作，其中的元素为行列式中元素的代数余子式. 利用伴随矩阵可以证明：定理 若方阵是非奇异的，即，则是可逆的，并且有。补充内容4.可逆矩阵的判定由例2知道，并不是所有的方阵都是可逆的，于是就要研究如何判别方阵是否可逆的问题
