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1、人教版数学必修五第一章 解三角形 重难点解析第一章 课文目录11正弦定理和余弦定理 12应用举例 13实习作业 【重点】1、正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用。2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；3、三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解决。4、结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题。5、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。6、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。【难点】1、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。2、勾股定理在
2、余弦定理的发现和证明过程中的作用，正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。3、根据题意建立数学模型，画出示意图，能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。4、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。5、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。【要点内容】一、正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即= =2R（R为ABC外接圆半径）1直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1 即c=， c= ， c= =2斜三角形中 证明一：（等积法）在任意斜ABC当中SABC= 两边同除以即得：=证明二：（外接圆法）如图所示，同理 =2R，2R证明三：（向量法）过A
3、作单位向量垂直于由+= 两边同乘以单位向量 得 (+)=则+=|cos90+|cos(90-C)=|cos(90-A) =同理，若过C作垂直于得： = =正弦定理的应用正弦定理可以用来解两种类型的三角问题：1两角和任意一边，求其它两边和一角；2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:若A为锐角时:若A为直角或钝角时:2、余弦定理余弦定理用语言可以这样叙述，三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍即： 若用三边表示角，余弦定理可以写为余弦定理可解以下两种类型的三角形：（1）已知三角形的三条边长
4、，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边注意：在（0，）范围内余弦值和角的一一对应性若cosA0则A为锐角；若cosA=0，则A为直角；若cosA0，则A为钝角3、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系在ABC中，c2=a2+b2-2abcosC若C=90，则cosC=0，于是c2=a2+b2-2ab0=a2+b2说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广这与RtABC中，C=90的锐角三角函数一致，即直角三角形中的锐角三角函数是余弦定理的特例4、三角形的有关定理：内角和定理：A+B+C=180，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)=
5、-cosC,cos=sin, sin=cos面积公式：S=absinC=bcsinA=casinBS= pr = (其中p=, r为内切圆半径)射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA5、求解三角形应用题的一般步骤：（1）、分析题意，弄清已知和所求；（2）、根据提意，画出示意图；（3）、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求；（4）、正确运用正、余弦定理。【典型例题】例1 已知在解：由得 由得例2 在解：例3 解：，例4 已知ABC，B为B的平分线，求证：ABBCAC分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研
6、究问题，而B的平分线BD将ABC分成了两个三角形：ABD与CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：ABADBCDC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论.证明：在ABD内，利用正弦定理得：在BCD内，利用正弦定理得：BD是B的平分线.ABDDBC sinABDsinDBC.ADBBDC180sinADBsin（180BDC）sinBDC评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.例5在ABC中，已知a=,
7、b=,B=45，求A,C及边c解：由正弦定理得：sinA=,因为B=4590且ba,所以有两解A=60或A=120(1)当A=60时,C=180-(A+B)=75， c=,(2)当A=120时,C=180-(A+B)=15 ，c=思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论例6ABC中，若，判断ABC的形状。解一：由正弦定理：2A = 2B 或 2A = 180 - 2B 即：A= B 或 A + B = 90ABC为等腰或直角三角形解二： 由题设：化简：b2(a2 + c2 - b2) = a2(b2 + c2 - a2) (a2 -b2)(a2 +
8、b2 - c2)=0a = b或 a2 + b2 = c2 ABC为等腰或直角三角形思维点拨：判断三角形的形状从角或边入手例7在ABC中，已知，成等差数列，b=1, 求证：1a+c2.解：由正弦定理:,得a+c=(sinA+sinC)= (sinA+sinC)= sinA+sin(120A)=2sin(A+30)，因为0A120，所以30A+30150,故12sin(A+30)2.法二B=60,b=1，a2+c2-b2=2accos60, a2+c2-1=ac, a2+c2-ac=1,(a+c) 2+3(a-c) 2=4, (a+c) 2=4-3(a-c) 2.0a-c1 03(a-c)21,
9、 1a+c2思维点拨：边角互化是解三角形问题常用的手段例8已知O的半径为R，在它的内接三角形ABC中，有成立，求ABC面积S的最大值解：由已知条件得即有 ，又 所以当A = B时，思维点拨：三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理在求值时，要利用三角函数的有关性质例9在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭。解：(一) 如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴
10、正向. 在时刻：t（h）台风中心的坐标为 此时台风侵袭的区域是， 其中t+60， 若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有即即， 解得.答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭解(二)设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则由余弦定理知由于PO=300,PQ=20t故因此解得例10如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的
11、方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=，ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，应用正弦定理得 AC = = BC = = 计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离 AB = 变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要
12、的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。例11AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。分析：求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得AC = AB = AE + h = AC+ h = + h例12如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=5
13、0。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)解:在ABC中, BCA=90+,ABC =90-,BAC=- ,BAD =.根据正弦定理, = 所以 AB =解RtABD中,得 BD =ABsinBAD=将测量数据代入上式,得 BD = = 177 (m)CD =BD -BC177-27.3=150(m)答:山的高度约为150米.例13如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.解:在ABC中, A=15,C= 25-15=10,根据正弦定理, = , BC = 7.4524(km)CD=BCtanDBCBCtan81047(m)答:山的高度约为1047米例14如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确
