排列组合和排列组合计算公式

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1、排列组合公式/排列组合计算公式排列 P和顺序有关组合C不牵涉到顺序的问题排列分顺序，组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法.排列 把5本书分给3个人，有几种分法组合1. 排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(mWn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个 排列；从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数, 用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)(nm+1)= n!/(nm)!(规定 0!=1).2. 组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(mWn)个元素并成一组，叫做从n个不同

2、元素中取出m个元素的一个组合；从n个不 同元素中取出m(mWn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m)表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/(nm)!*m!) ； c(n,m)=c(n,nm);3. 其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(nr)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,.nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*.*nk!).k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列(Pnm(n为下标，m为上标)Pnm=nX (n1) .

3、. (nm+1) ； Pnm=n! / (nm) !(注：！是阶乘符号)；Pnn (两个 n 分别为上标和下标)二n!； 0 ! =1； Pn1 (n为下标1为上标)二n 组合(Cnm(n为下标，m为上标)Cnm=Pnm/Pmm ； Cnm=n! /m!(nm)!； Cnn (两个n分别为上标和下标)=1 ； Cn1 (n为下标1为上标)二n；Cnm=Cnnm20080708 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。N-元素的总个数R参与选择的元素个数!-阶乘，如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n* (

4、n-l)*(n-2).(n-r+l);因为从n到(n-r+1)个数为n(n-r+l)=r举例：Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1：123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数 有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算 公式=P (3, 9) =9*8*7,(从9倒数3个的乘积)Q2:有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联

5、盟”？A2:213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1 设有3名学生和4个课外小组(1)每名学生都只参加一个课外小组；(2)每名学生都只参加一 个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加各有多少种不同方法？解(1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种 不同方法(2) 由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有

6、种不同方法 点评 由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？解 依题意，符合要求的排法可分为第一个排、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树 图”的方式逐一排出：符合题意的不同排法共有9种.点评 按照分“类”的思路，本题应用了加法原理为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形 象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型.例3判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.(1) 高三年级学生会有11人：每两人互通一封信，共通了多少封信？每两人互握了一次手，共握了 多少次手？(2)

7、高二年级数学课外小组共10人：从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？从 中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？(3) 有2， 3， 5， 7， 11， 13， 17， 19八个质数： 从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？ 从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？(4) 有8盆花：从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？从中选出2盆放在教 室有多少种不同的选法？分析 （1）由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列； 由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题.其他类

8、似 分析（1）是排列问题，共用了封信；是组合问题，共需握手（次）.（2）是排列问题，共有（种）不同的选法；是组合问题，共有种不同的选法.（3）是排列问题，共有种不同的商；是组合问题，共有种不同的积.（4）是排列问题，共有种不同的选法；是组合问题，共有种不同的选法.例4 证明.证明 左式右式.等式成立.点评 这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简 化.例 5 化简.解法一 原式解法二 原式点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使 变形过程得以简化.例 6 解方程：（ 1）；（ 2）.解（1）原方程

9、解得.（ 2）原方程可变为 ， ， 原方程可化为. 即 ，解得第六章 排列组合、二项式定理一、考纲要求1. 掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2. 理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3. 掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示 （一）加法原理乘法原理 说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根 据.例1 5位高中毕业生，准备报考3 所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?

10、解： 5个学生中每人都可以在3 所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的 报名方法，根据 乘法原理，得到不同报名方法总共有3X3X3X3X3=35（种）（ 二 ） 排列、排列数公式说明 排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研 究的对象以及研 究问题的方法都 和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空 题考查.例 2 由数字 1 、 2 、3 、 4、 5 组成没有重复数字的五位数，其中小于 50 000 的 偶数共有（）A.60 个B.48 个C.36 个D.24 个解 因为要求是偶数，个位数只能是2或4的

11、排法有Pi2；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P1 ；在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P3，得P1 P3 P1 =36（个）33332由此可知此题应选C.例3 将数字1、 2、 3、 4填入标号为1、 2、 3、 4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填 的数字均不同的填法有多少种?解： 将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即2143，3142，4123； 同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P1 =9（种）.例四 例五可能有问题，等思考

12、三）组合、组合数公式、组合数的两个性质说明 历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A.140 种 B.84 种 C.70 种D.35 种解： 抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C1C2种；甲型2台乙型1台的取法有C2O种4545根据加法原理可得总的取法有C2 C2 +C2 O =40+30=70（种）4545可知此题应选C.例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问 共有多少种

13、承包方式?解： 甲公司从8项工程中选出3项工程的方式C3种；8乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C1种；5丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C2种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C22种. 根据乘法原理可得承包方式的种数有C3 8X0 XC2 XC2 = X 1=1680 (种).542(四) 二项式定理、二项展开式的性质说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998 年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空

14、题.例6在(x-)io的展开式中，X6的系数是()A.-27C6B.27C4C.-9C6D.9C410 10 10 10解 设(x-)io的展开式中第Y +1项含x6，因 Ty +i二Cy Qxi0-v (- ) y , 10丫 =6, Y =4于是展开式中第5项含x 6,第5项系数是C4 (-)4=9C410 10故此题应选 D.例7(x1) (x1)2+ (x-l)3-(x-l) + (x-l) 5的展开式中的X2的系数等于解：此题可视为首项为x-1,公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为在(X-1)6中含X3的项是C3 x3(-1)3=-20x3,因此展开式中X2的系数是-2

15、 0.6(五) 综合例题赏析例 8 若(2x+ ) 4=ao+aiX+a2X 2+a3X3+a4X4,则(ao+a2+a4)2-(ai+a3) 2 的值为()A.1B.-1C.0D.2解： A.例9 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检,每校分配1名医生和2 名护士,不同的分配方法共有 ( )A.6 种B.12 种C.18 种D.24 种解 分医生的方法有P2=2种，分护士方法有C2 =6种，所以共有6X2 = 12种不同的分配方法。24应选 B.例10 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其 中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同取法共 有().A.140 种B.84 种C.70 种D.35 种解：取出的3台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形.VC2 +C2 C1 =5X6+10X4=70.454应选C.例11 某小组共有10名学生，其中女生3名，