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1、导数中构造函数的常见题型与方法归纳高考中有一难点，即不给出具体的函数解析式，而是给出函数f(x)及其导数满足的条件，需要据此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题的题目，该类题目具有一定的难度，下面总结其基本类型及其处理方法题型一f(x)g(x)f(x)g(x)型【例1】设f(x)是奇函数fx)(xR)的导函数,，(一1)=0,当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A. (-,-1)U(0,1)B.(1,O)U(1,+)C.(8,1)U(1,0)D.(0,l)U(l,+)【解析】令g(x)，则g(x)=#X),由题意知，当x0时，g(x)0,从而f
2、x)0;当xW(1,+*)时，g(x)0，从而fx)0;当x(1,0)时，fx)0.综上，所求x的取值范围是(一00,1)U(0,1).【例2】设fx),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0,且g(3)=0,则不等式fx)g(x)OOf(x)g(x)0,所以函数y=f(x)g(x)在(一8,0)上单调递增.又由分析知函数y=f(x)g(x)为奇函数,所以其图象关于原点对称,且过点(一3,0),(0,0),(3,0).数形结合可求得不等式f(x)g(x)0(或0(或k(或0(或0(或0(或0(或x2,则下列不等式在R上恒成立的是()Af(x)0Bf(x)xDf(x)0时，g(x)O,
3、.g(x)g(O),即X2fx)；X40，从而fx)；X20；当x0时，g(x)g(O),即X2f(x)：x40，从而fx)：X20；当x=0时，由题意可得2/(0)0,f(0)0.综上可知，f(x)0.法二：/2fx)+xf(x)x2,令x=0,则f(0)0，故可排除B、D,不妨令f(x)=x2+0.1,则已知条件2f(x)+xf(x)x2成立，但f(x)x不一定成立，故C也是错误的，故选A.【例4】已知定义域为x|xH0的偶函数f(x),其导函数为f(x),对任意正实数x满足xf(x)2f(x),若g(x)=x2f(x),则不等式g(x)2f(x),xf(x)+2fx)0.g(x)=xfx
4、),.g(x)也是偶函数，当x(0,+)时,g(x)=2fx)+xf(x)0.g(x)在(0,+)上单调递增，戎对在(一8,0)递减.若g(x)g(l)，贝l|x|l(xH0),解得0x1或一1x0.故g(x)0型，构造F(x)=xfx),则F(x)=Xn-1xff(X)+nf(X)(注意对Xn-1的符号进行讨论)，特别地，当n=1时，xf(x)+fx)0，构造F(x)=xf(x),则F(x)=xff(x)+fx)0；(2) 对于xf(x)nf(x)0(x#0)型，构造F(x)=fx，xn则F(x)=(注意对xn+1的符号进行讨论)，xn+1特别地，当n=1时，xf(x)f(x)0，构造Fx)?，则F(x)=#沧)0.题型三fx)f(x)a为常数)型【例5】已知fx)为R上的可导函数，且VxR,均有fx)f(x),则有()A. e201f(2019)e201f(0)B. e2019f(2019)f(0),f2019)f(0),f2019)e201f(0)D. e2019f(2019)f(0),f2019)e201f(0)【解析】构造函数h(x)=,则h(x)丿xx)力(0),即/二01呎一2019)(0);同理，h(2019)h(0),即f2019)0(或0(或0),构造函数F(x).
