《与平面向量相关的最值问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《与平面向量相关的最值问题（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、与平面向量相关的最值问题与平面向量共线有关的最值问题是高考的热点与难点，常以中档小题、压轴小题出现解决此类问题需要先根据题中的向量关系得出未知元之间的关系式，再求出目标的最值本专题主要研究平面向量线性表示背景下的最值问题，并在解决问题的过程中体会数学思想方法的灵活运用.例题：如图，在扇形OAB中，AOB60，C为弧AB上的一动点，若OCxOAyOB(x，yR)，求x4y的取值范围变式1设点A，B，C为单位圆上不同的三点，若ABC，OBmOAnOC(m，n4R)，则mn的最小值为_弧上的任意一点，设向量ACDEAP(，R)，求的最小值变式2如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心
2、，AB为半径的圆点Q满足AQAPAC，则|BQ|的最小值为_串讲1已知ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，2133N两点，设AMxAB，ANyAC(xy0)，求4xy的最小值，串讲2已知三角形ABC中过中线AD的中点E任作一条直线分别交边AB，AC于M，BD相切的圆上，若APABAD，求的最大值(2017新课标卷)在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与(2018洛阳三模在ABC中，点P满足BP2PC，过点P的直线与AB，AC所以直线分别交于点M，N，若AMmAB，ANnAC(m0，n0)，求m2n的最小值解析：因为BP2PC，所以，APABBPA
3、B(ACAB)ABAC，4分又因为AMmAB，ANnAC，所以APAMAN，7分由于M，P，N三点共线，所以1，9分答案：3.212333123m3n123m3n所以m2n(m2n)mn14mn522n2m3，12分33311212n2m1mn当且仅当mn1时，等号成立，所以m2n的最小值为3.14分例题答案：1，4解法1建立如图所示的直角坐标系，A，2，B(1，0)，设0，因为OCxOAyOB，所以(cosyCsin，22y(1，0)，方法求解函数t的最值情况，因为t4sincos，当0，时，sin0，cos0，则t，即函数t在0，时是单调递减的，所以当0时，tmax41304，当时，tmi
4、n4332322设此扇形的半径为1，AOB60，所以xCcos，132313，sin)x，2sinx，323sinsin3解得则tx4y4cos，0，3，以下用导数ycos，3233302312331，综上所述，x4y的取值范围是1，4解法2建立解法1中的直角坐标系xOy，设此扇形的半径为1，由于AOB60，则132A，2，B(1，0)，设C(m，n)，因为C为弧AB上的一个动点，则m2n23113212m1，0n，由于OCxOAyOB，所以(m，n)x2，2y(1，0)，从而xmy，23nx，解得x23nymn，3，332332333所以x4yn4mn3(23mn)，记t23mn，则直线l：
5、n23mt过弧AB上的点，当点l过点B(1，0)时t取得最大值tmax23，当133232l过点A，2时，t取得最小值tmin2，所以x4y3t1，4解法3取OB的四等分点(靠近点O)D，连接AD交OC于点E，设此扇形的半径为1，则|OC|1，由于OCxOAyOB，则OCxOA4yOBxOA4yOD，因为A，E，D共线，设OEOAOD，则1，又因为O，E，C共线，设OCkOE，则OCkOEkOAkODxOA4yOD，所以x4yk，当E，D重合时，|OE|取得最小值，x4y取得最大值4；当E，A重合时，|OE|取得最大值，x4y取得最小值1，所以x4y1，4(用等和线的知14|OC|1|OE|O
6、E|识三言两语就能得出结果，用平面向量基本定理转化需要大量篇幅)变式联想变式1答案：2.解法1因为ABC4，所以AOC2，不妨设A(1，0)，C(0，1)，B(cos，sin)，2，则cosm，sinnmncossin2sin42，2当且仅当54时取等号解法2如图，因为ABC，所以4AOC，不妨设A(1，0)，C(0，1)，B(x，y)(优弧上的点)，由于OBmOAnOC，2，当且仅当xy2时取等号2则(x，y)m(1，0)n(0，1)，即xm，yn，所以mnxy2（x2y2）2，所以AOC2，不妨设A(1，0)，C(0，1)，B(x，y)(优解法3如图，因为ABC4弧上的点)，则|OB|1，
7、记OB的反向延长线交AC于点D，则因为A，D，C共线，设ODOAOC，则1，又因为O，D，B共线，设OBkOD(k0)，则OBkODkOAkOCmOAnOC，所以mnk()k，当D位于AC中点时，|OD|取得最小值，mn取得最小值2，此|OB|1|OD|OD|时xy22.答案：.的边长为1，则E2，0，C(1，1)，D(0，1)，A(0，0)，设P(cos，sin)，所以AC(1，1)，又ACDEAP.故2，12sin2cos，故(用等和线的知识三言两语就能得出结果，用平面向量基本定理转化需要大量篇幅)变式212解法1以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD11(
8、cos，sin)(1，1)，1cos1，所以2sin1，2cossin32cossin，从而32sin2cos2cossin（2cossin）3sin32cossin13sin33sin3，记f()12cossin2cossin，由题意得，02，则f()66sin3cos当0时，的最小值为.解法2如图，设正方形边长为1，将向量DE沿DA平移至AF，则DEAF，连接FP并3sin32cossin（2cossin）20.所以f()1在0，2上单调递增，所以12延长交AC的延长线于点Q，由于F，P，Q共线，设AQxAFyAPxDEyAP，则xy1，因为A，C，Q共线，设ACkAQ，则ACkAQk(xDEyAP)，又因为ACDEAP，由平面向量基本
