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1、 圆锥曲线考点分类整理（椭圆）-2020版二轮复习一、2017-2019年全国卷高考真题回顾：1、（2019全国1文21）已知点A，B关于坐标原点O对称，AB =4，M过点A，B且与直线x+2=0相切（1）若A在直线x+y=0上，求M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，MAMP为定值？并说明理由4.解析 （1）因为过点，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线上，且关于坐标原点O对称，所以M在直线上，故可设.因为与直线x+2=0相切，所以的半径为.由已知得，又，故可得，解得或.故的半径或.（2）存在定点，使得为定值.理由如下：设，由已知得的半径为.由于，故可得，化简得M的轨迹方
2、程为.因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以.因为，所以存在满足条件的定点P.2（2019全国I理19）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若，求l的方程；（2）若，求3.解析 设直线（1）由题设得，故，由题设可得由，可得，则从而，得所以的方程为（2）由可得由，可得所以从而，故代入的方程得故3.（2019全国2文20）已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点（1）若为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围.6.解：（1）连结，由为等边三角形可知在中，于是，故的离心率是
3、.（2）由题意可知，满足条件的点存在当且仅当，即，由及得，又由知，故.由得，所以，从而故.当，时，存在满足条件的点P.所以，的取值范围为.4.（2019全国2理21）已知点A(2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值.6解析（1）由题设得，化简得，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为由得记，则于
4、是直线的斜率为，方程为由得设，则和是方程的解，故，由此得从而直线的斜率为所以，即是直角三角形（ii）由（i）得，所以PQG的面积设t=k+，则由k0得t2，当且仅当k=1时取等号因为在2，+）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为因此，PQG面积的最大值为5、(2019全国3文21）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.1.解析（1）设，则.由于，所以切线DA的斜率为，故 ，整理得 设，同理可得.故直线AB的方程为.所以直线
5、AB过定点.（2）由（1）得直线AB的方程为.由，可得.于是.设M为线段AB的中点，则.由于，而，与向量平行，所以.解得t=0或.当=0时，=2，所求圆的方程为；当时，所求圆的方程为.6. （2019全国3理21）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.4解析（1）设，则.由于，所以切线DA的斜率为，故 ，整理得 设，同理可得.故直线AB的方程为.所以直线AB过定点.（2）由（1）得直线AB的方程为.由，可得.于是，.设分别为点D，E到
6、直线AB的距离，则.因此，四边形ADBE的面积.设M为线段AB的中点，则.由于，而，与向量平行，所以.解得t=0或.当=0时，S=3；当时，.因此，四边形ADBE的面积为3或.7（2018全国1理）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.9.答案：（1）；（2）略.解答：（1）如图所示，将代入椭圆方程得，得，直线的方程为：. （2）证明：当斜率不存在时，由（1）可知，结论成立；当斜率存在时，设其方程为，联立椭圆方程有即，.8（2018全国文）设抛物线，点，过点的直线与交于，两点（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）证明：
7、答案：（1）或；（2）见解析解答：（1）当与轴垂直时，的方程为，代入，或，的方程为：或.来源:学科网ZXXK（2）设的方程为，设，联立方程，得，来源:学.科.网 ，.9（2018全国2文、理）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，（1）求的方程（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程10【答案】（1）；（2）或【解析】（1）由题意得，的方程为，设，由得，故所以由题设知，解得（舍去），因此的方程为（2）由（1）得的中点坐标为，所以的垂直平分线方程为，即设所求圆的圆心坐标为，则，解得或，因此所求圆的方程为或10（2018全国3文）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点线段的中点为（1）证明：；（
8、2）设为的右焦点，为上一点，且证明：11.答案：见解答：解答：（1）设直线方程为，设,联立消得，则，得，且， 且.且.由得，或.， .（2），,，的坐标为.由于在椭圆上， ，又，两式相减可得，又，直线方程为，即，消去得，,.11（2018全国3理）知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且证明：，成等差数列，并求该数列的公差12答案：见解答：解答：（1）设直线方程为，设,联立消得，则，得，且， 且.且.由得，或.， .（2），,，的坐标为.由于在椭圆上， ，又，两式相减可得，又，直线方程为，即，消去得，,.，成等差数列，.12、【2017全国1理
9、20】已知椭圆C：（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得.故C的方程为.13、【2017全国1文20】设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程来源14.【2017全国2理】设O为坐标
10、原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。(1) 求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。 【答案】(1) 。 （2）由题意知。设,则，来源:学科网。由得，又由（1）知，故。所以，即。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F。15.【2017全国2文20】设O为坐标原点，动点M在椭圆C 上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足(1)求点P的轨迹方程；(2)设点在直线上，且.证明过点P且垂直于OQ的直线 过C的左焦点F. 【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）转移法求轨迹：设所
11、求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程，（2）证明直线过定点问题，一般方法以算代证：即证，先设 P（m，n），则需证，根据条件可得，而，代入即得.（2）由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则，.由得，又由（1）知，故.所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F来源:学*科*网Z*X*X*K7.【2017全国3理20】已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点，求直线l与圆
12、M的方程.【解析】所以 ，解得 或 .当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为 .当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为 .16.【2017全国3文20】在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现ACBC的情况？说明理由；（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.【答案】（1）不会；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）设，由ACBC得；由韦达定理得，矛盾，所以不存在（2）可设圆方程为,因为过，所以 ，令 得，即弦长为3.令得，所以过A，B，C三点的圆在y
13、轴上截得的弦长为，所以所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值解法2：设过A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D，由可知原点O在圆内，由相交弦定理可得，又，所以，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为，为定值.二、最值、范围、求值型1、面积最值型例题：已知椭圆经过点，离心率.（）求椭圆的标准方程；（）设过点的直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值。来源:学。科。网Z。X。X。K【答案】(1) ;(2)1. 1、【2016高考全国1卷】设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E. （I）证明为定值,并写出点E的轨迹方
14、程；（）.（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.（）当与轴不垂直时,设的方程为,.由得.可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时,其方程为,四边形的面积为12.综上,四边形面积的取值范围为.2、已知椭圆的左、右两个焦点分别为，离心率，短轴长为2.（1）求椭圆的方程；（2）点为椭圆上的一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点， 的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值.（1） 由题意得，再由， 标准方程为；（2）当的斜率不存在时，不妨取； 当的斜率存在时，设的方程为，联立方程组 ，又直线的距离 点到直线的距离为面积的最大值为.3（2019湖南郴州一模文）已知椭圆经过点
