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1、教学案例：几何变式教学的思考 -从一堂公开课说起【主题阐述】变式教学是指教师在引导学生解答数学问题时，变更概念非本质的特征，变更问题的条件或结论；转换问题的形式或内容；创设实际应用的各种环境，使概念或本质不变的一种教学方式。数学变式的研究能帮助学生养成良好的质疑、多思的学习习惯，提高类比推理的思维能力和数学学习的能力，点燃创新思维的火花。而利用 变式教学”和 变式训练”， 通过对数学问题多角度， 多方位、多层次的讨论和思考， 能帮助学生打通关节， 构建有价值的变式探索研究， 展示数学知识发生、发展和应用的过程， 有意识、有目的地引导学生从 “变”的现象中发现“不变”的本质， 从 “不变”的本质
2、中探究 “变”的规律， 使所有知识点融会贯通， 使思维在所学知识中游刃有余、顺畅飞翔。笔者有幸于2007年4月在西湖区的初三复习研讨会上，上了一节问题变式探究的公开课，对变式教学有了一些新的感受，请同行们批评指正。【课例描述】一、 引例教学：给大家展示的是2006年江西南昌的中考题：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题： 如图1，在正三角形ABC中，M，N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若BON=60则BM=CN： 如图2，在正方形ADBC中，M、N分别是AC、AD上的点BM 与CN相交于点O，若BON=90则BM=CN.然后运用类似的思想提出了如下命题： 如图3，
3、在正五边形AEDBC中，M、N分别是AC，AE上的点，BM与CN相交于点O，若BON=108，则BM=CN.请你从，三个命题中选择一个进行证明。在同学们选择其中之一证明以后提出了以下问题：问题1：这个中考题为什么让你从三个命题中选择一个进行证明？问题2：三个命题的证明方式为什么是一样的？用到了哪些知识点？问题3：你能将命题推广吗？问题4：这些命题在证明过程中哪些条件起到解决问题的决定性作用？师生共同探究条件“正多边形”的作用是：(1) BC=CM 边等创造三角形全等的条件 (2) BCA=CAN=BON角等让同学们体会引例中的条件“正多边形”只是作为命题的背景，在平时的学习中要学会抓住每个条件
4、所起的作用，即抓住问题的本质。二、 例题教学：例题：操作：如图，ABC中，A60，ABAC，BDC是顶角BDC120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连结MN探究：线段BM、MN、NC之间的数量关系，并加以证明。引导学生用旋转DCN至DCN1的方法证明命题成立。引导学生思考：（1）条件BDCD所起的作用是什么？（2）MDN60与条件BDC120有什么关联性？所起的作用是什么？（3）是什么条件保证了A、B、N1三点共线？为什么要证三点共线？若三点不共线，结果会是什么？探究1：若将条件MDN60改为MDN50，若要使原结论成立，则如何修改原命题？探究2：
5、ABC中必须满足A80，ABAC吗？你所添加的这个条件所起的作用是什么？可否用别的条件来替换它？师生共同探究命题的本质：BDCD旋转时，使C与B重合BDC2MDNMDN1MDNABDACD180保证了A、B、N1三点共线因此，可将该题一般化，如图，圆的内接四边形ABDC中，BD=DC，M是AB上一点，作交AC于点N，则MN=BM+CN。三、 课堂练习：1、已知ABC中，A90，ABAC，D是BC的中点，以D为顶点作一个90角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连结MN.探究：线段BM、MN、NC之间的数量关系，并加以证明对例题再次变式探究，以达到对命题本质的再认和多题一解的目的。要求：学
6、生在解题之前先思考“这个题与例题有什么关联性？”若有困难，可先解决问题后再思考前面的问题。共同探究：这个题即是例题的特例，是将例题归纳图中的边BC是圆的直径，点D是圆心，但互补的条件不满足，所以这个图中的DCN旋转后A、B、N1三点不共线，则三条线段之间应不是原先的关系。而且这个题中的条件ABAC是多余的。2、已知ABCD是正方形，E是边DC上一点，作EAF45交边CB于点F，连结EF。试探究DE、EF、BF之间的数量关系. 要求：学生在解题之前先思考“这个题与例题有什么关联性？”若有困难，可先解决问题后再思考前面的问题。共同探究：这个题也是例题的特例.变式1：若点E在射线DC上，则结论将是什
7、么？变式2：若例题中的点M在射线AB上，则结论将是什么？四、 领悟提升：一般在做几何题时，我们的方法是：解决问题透过现象抓住本质反思（1）命题中每个条件所起的作用是什么？（2）哪些条件起决定性作用？（3）能否将命题拓展、推广？【教学反思】区教研员付兰英老师的点评：本课例把一道中考题作为引例，在学生个体独立探究的基础上，教师让学生在小组内充分展示自己的思维方法及过程，相互讨论分析，揭示图形之间的内在联系，通过探究发现图形变换的本质特性，培养学生从特殊到一般的归纳能力和探究问题的能力。本课例是数学探究学习，问题设计是关键，教师不断创设问题情境，在学生自主、独立地发现问题的过程中，不仅仅获得知识与技
8、能，更重要的是学生探索精神和创新能力得到发展，学生通过主动探究而“生成”自己的知识。教师在教学中设计的具有一定探究空间的问题情景对贯彻新课程理念，促进每一位学生的发展具有重要的实际意义。课堂中教师积极引导，让学生在思考问题时从多方向、多角度、多手段、多途径入手，教师善于把问题延伸，拓展，培养学生思维的多样性、流畅性、广阔性；从而养成良好的思考问题习惯与解决问题的策略。在课堂，教师及时评价，学生获得了成功的体验，学生在变式探究中体会问题反思的方法及反思的乐趣，学生通过反思激发了探究的兴趣，在探究中的体验变成了一种学习的动力，成为一种思维方式。在课堂，学生在合作交流中学会相互帮助，实现学习互补，增
9、强合作意识，提高交往能力；师生交流情感融洽，充满了鼓励、爱心，体现了评价的人文关怀。我自己的体会：在以往的教学中我们也很喜欢变式教学，一般情形下都是老师将题变好后让学生练习，至于题目为什么能变，如何去变，学生都是不知道的，甚至有些老师也只是把一些类似的题目串在一起而已，没有将几个题作类似性的分析，所以学生们经常是跟着老师的思维为做题而做题，很少或很难去理解题与题之间的联系，今天的教学，我试图突破这一点。通过例题中三角形形状的不断改变，让学生体会每个条件所起的作用，从而让学生明白一般题目变式可以从改变非本质的条件入手，有能力的同学可在平时的学习中尝试改变题目，体会题目可以变的原因。这样的尝试是有
10、价值的，它可以改变学生拿来题就做的习惯，如果能在初一就开始培养这种习惯，我们不仅可以培养一支会解题的学生，还能培养一支会思考的学生，会编题的学生，会知一而知其二，那将是学生学习方法的一种突破。 通过本节课的教学，也让我们老师在平时的教学中改变着自己的思维方式，老师们也在思考如何让学生们体会题中本质，抓住本质起到事半功倍的作用。【拓展提升】变式教学是指教师在引导学生解答数学问题时，变更概念非本质的特征，变更问题的条件或结论；转换问题的形式或内容；创设实际应用的各种环境，使概念或本质不变的一种教学方式。变式教学的哲学基础辩证唯物主义认为：“任何事物都是内容和形式的矛盾统一”，当形式适合内容时,它对
11、内容有巨大的反作用,它对内容的发展起积极的推动作用；反之,则起消极的阻碍作用。所以,我们在实践活动中,都要设法使内容和形式尽可能完美和谐地统一起来。实践证明,教学形式对内容具有不可忽视的作用，变式教学实际上是在教学中根据数学教学要求、授课对象、数学教材内容和教学环境,形成的一种教学方法。变式教学是形式,要想对内容有积极的促进作用,就要求每个教师应针对不同的教学,尽可能地创设一种和谐愉悦的教学气氛,采用学生所能接受的语言和良好的教学方法,以取得内容和形式的统一,从而提高数学课堂教学效益；变式教学就是外因，学生的学习活动则是内因，变式教学就是教师为学生提供更多的主动参与学习的时间、空间,促进学生学
12、习的内化的过程。维果茨基关于最近发展区的理论认为：每个学生都存在两种水平：一是现有水平,二是潜在水平，这两者之间的差距即学生的现有水平与经过他人的启发帮助可以达到的潜在水平的差距，教学是一个由现有水平转化为潜在水平即新的现有水平,并不断创造新的最近发展区的过程。根据这种理论,变式教学从学生的这两种水平的实际差异出发,首先在教学中用不同形式的材料引导学生自己想,自己试,相互磋商,帮助学生达到潜在水平即新的现有水平,然后根据新的最近发展区围绕本节教材知识线索中的本质问题,变换同类事物的非本质特征,帮助学生达到更高的潜在水平。现代教育理论认为变式教学可以体现学生的主体地位。首先，学生在教学认识活动中
13、处于主体地位。教学活动本质上是一种认识活动,学生是这种认识活动的主体，学生的认识活动归根到底是学生自己的事情，教师永远无法包办代替，因此,只有确立学生在教学活动中的主体地位，发挥其主体作用，调动学生学习的积极性和主动性，才能真正保证教学的质量；其次,教师在教学活动中起主导作用。在教学活动中,学生是教学认识的主体，但由于青少年学生是一个不成熟的主体，他们的知识!经验还不够丰富，能力还不够强大,还不可能掌握认识活动的方向、内容和方法等，此他们的认识活动需要由师领导着进行。再次，教师的主导作用与学生的主体地位之间是辩证统一的。学习了以上理论之后，结合自己的日常教学体会，我对几何变式教学又有一点认识：
14、几何变式可从变条件、变位置、变形状三个角度进行研究。如图1,ABC是一个正三角形，E、F分别是边BC、CA上的点，且BE=CF，AE、BF交于点O,则BOE的度数是多少？本题的解题思路是利用等边三角形的边等和角等的条件，构造了ABEBCF，三角形全等的性质可得BAE=FBC，所以BOE=BAE+FBA=FBC+FBA=ABC=60。变式一：变条件要使的结论不变，你认为可把BE=CF换成其它什么条件？ 变条件必须抓住ABEBCF不变，要变只能改变判定这对三角形全等的方法，因此本题有两个思路变条件：思路一：直接替换三角形全等的条件：思路二：简接替换三角形全等的条件：思路三：构造逆命题：将BE=CF
15、与结论BOE =60对换。变式二：变位置若题中的条件与结论不变，你认为可以改变E、F的位置吗？可将E、F的位置改在BC、CA的延长线上(或CB、AC的延长线上)，如图2，这时ABEBCF仍没改变，因此结论不变。图5但若E在BC的延长线上、F在AC的延长线上，如图3，这时图中也有ABEBAF，但它已经改变了ABEBCF的本质，因此这种改变只是形似而已，对学生的思维培养不能起到较好的效果，这也是我们在变式教学中要注意的地方。图3图2图4 变式三：变背景如：将题中的正三角形ABC改为正方形ABCD，如图5，E、F分别是边BC、CD上的点，且BE=CF，AE、BF交于点O,则AE和BF相等吗？BOE的度数是
