《数学归纳法的理论依据.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学归纳法的理论依据.doc（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学归纳法的理论依据 数学教学改革实验与理解能力培养我们在中学教数学归纳法时，经常碰到一些勤于思考的学生提出：“数学归纳法的理论依据是什么？”这个问题在高等代数中早有论述，但中学生一般还很难看懂。为了保护学生们的好奇心、求知欲望和探索精神，提高与发展学生的领会理解能力，我们以数学课外活动的方式，开设“数学专题讲座”，给这个问题作出深入浅出的回答。一、自然数集的基本性质与皮亚诺公理。1962年我国著名数学家华罗庚教授在一次讲话中说：“简单朴素的数的性质，成为数学概念和方法的一个重要源泉。”数学归纳是用来证明某些与自然数n有关的数学命题P（n）的重要方法。它的理论依据就必定与自然数的基本性质有关。
2、1889年意大利数学家皮亚诺创立了五条自然数集的公理体系，揭示出自然数集N的基本性质。这五条公理是（1）1属于自然数集N，即；（2）若，则有且仅有一个自然数紧跟在a后面，记为a+1；（3）若a属于自然数集N，即，则；（4）设，当x+1=y+1时，x=y；（5）若M是N的一个子集，具有下面两个性质：1） ；2）若，有，则M=N。依皮亚诺公理，有，1+1记为2，则2，2+1记为3，则，3+1记为，则4，则依此递推，便得自然数集。 事实上，我们数自然数时，第一个数便是1，这就是公理1。公理2说明，任何自然数a都有唯一确定的后继数a+1。公理3说明，1是自然数中唯一不是后继数的数；1是自然数集N中的最
3、小数。公理4说明，除1以外，每个自然数都是一个唯一确定的自然数的后继数。公理5说明，从1开始，一直数下去，以至无穷，便得到所有的自然数。这个公理5，又称为归纳公理，它就是数学归纳法最原始的理论依据。二、最小数原理与数学归纳法原理。依皮亚诺公理，自然数集N有最小数1。这个性质加以推广，便得“最小数原理”。定理一、自然数集的任意非空子集必有一个最小数。证明：设A是自然数集的任意非空子集。在A中任意取出一个数m。依皮亚诺公理，从1到m共有m个自然数，则A中不超过m的数最多有m个。因为这是有限个数，则其中必有一个最小数K。K对于A中不超过m的数来说最小。而A中其余的数都比m大，因而更比K大，所以，K就
4、是A中的最小数。例1、用“最小数原理”证明证明：假设至少存在一个自然数m，使得上述等式P（m）不成立。令S表示所有使等式P（m）不成立的那些自然数m的集合。因为当n=1时，等式P（1）显然成立，则，所以，S是N的一个真子集。又由假设得，S是非空的。依最小数原理，S中必有一个最小数K，使得P（K）不成立。且K1。因为K-1K+1成立，两边同时加上1，得K+1K+2也成立。但不能断定“任何自然数都大于它的后继数”。因为它缺乏递推的基础，论断的真实性不一定可靠。事实上，当K=1时，11+1显然不成立。注：本文原为我在新化二中，以数学课外活动方式，举办“数学专题讲座”的讲稿，发表于湖北中学数学1984年第10期。后来，我又在中学数学等刊物中相继发表几篇关于数学归纳法的论文，发展成数学归纳法浅析书稿，共15万字，由湖南数学会常务副理事长、湖南教育学院院长欧阳录教授作序，以待出版。本文是该书稿的第二章。3
