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1、第6章数理统计的基本概念6.1内容框图6.2基本要求(1) 理解总体、样本及统计量的概念，并熟练掌握常用统计量的公式(2) 掌握矩法估计和极大似然估计的求法，以及估计无偏性、有效性的判断(3) 掌握三大抽样分布定义，并记住其概率密度的形状.(4) 理解并掌握有关正态总体统计量分布的几个结论，如定理6.46.9及定理6.11.6.3内容概要1) 总体与样本在数理统计中，我们把作为统计研究对象的随机变量称为总体，记为E，耳，。对 总体进行 n 次试验后所得到的结果，称为样本，记为(X ,X ,X )，12n(Y , Y ,Y)，其中，试验次数n称为样本容量。样本(X , X ,X)中的12n12n
2、每一个 X 都是随机变量。样本所取的一组具体的数值，称为样本观测值，记为具有性质:独立性，即X1, X 2,，Xn相互独立。(2)同分布性，即每一个X.都与总体g服从相同的分布。i称为简单随机样本。如果总体g是离散型随机变量，概率分布为Pg二k，那么样本(X , X，,X)12n的联合概率分布为 P X = x , X = x ,X = x = 0 PX = x = 0 Pg = x 。1122nniiii =1i=1如果总体g是连续型随机变量，概率密度为9 (x)，那么样本(X , X，,X )的12n联合概率密度为9 *(x , x ,x ) = 09 (x ) = 09(x )。12nX
3、 iiii =1i=1如果总体g的分布函数为F(x)，那么样本(X , X，,X )的联合分布函数为12nF * (x , x，,x ) = F (x ) = 0 F (x )。12nX iiii=1i=12) 用样本估计总体的分布数理统计的一个主要任务，就是要用样本估计总体的分布。参数估计又可以分为两种，一种是点估计，另一种是区间估计。3) 矩法估计求矩法估计的步骤为:(1) 计算总体分布的矩E(g k) = f (6 ,6，,6 )，k = 1,2,m，计算到m阶矩k 12m为止(m是总体分布中未知参数的个数)。(2) 列方程f(6,6，6)= Eg = X112m f(6,6，,6)=
4、e(g2)= 乂| 2 1 2mf (6 ,6，,6 ) = E(g m)= Xmm 12m从方程中解出6,6，,6，它们就是未知参数6 ,6，,6的矩法估计。12m12m4) 极大似然估计求极大似然估计的步骤为：(1) 写出似然函数L的表达式。如果总体匕是离散型随机变量，概率分布为PE二k，那么L二打二x ；ii =1如果总体E是连续型随机变量，概率密度为9 (X)，那么L = Hp (x )。ii=1(2) 在ye2,0的取值范围内，求出使得似然函数l达到最大的参数估计值12m，它们就是未知参数的极大似然估计。12m通常的做法是，先取对数In L (因为当lnL达到最大时，L也达到最大)。
5、然后令lnL关于0 ,0 ,0的偏导数等于0得到方程组12mln L = 0芮01皿=00m由此可见，如果上面这个方程组在内有唯一解，所以，按照极大12m似然估计的定义，曾2，就是未知参数01,0 2,耳的极大似然估计。5) 衡量点估计好坏的标准定理 设总体E的数学期望Eg和方差D2都存在，(X , X，,X )是g的12n样本，X是样本均值，S 2是样本方差，则有_ Dgn 1(1)EX = Eg；(2)DX =；(3)E(S2)=Dg。nn衡量点估计的好坏标准：(1)无偏性定义6.1 设0是参数0的估计，如果有E0 =0，则称0是0的无偏估计。(2)有效性定义6.2设0 ，0；都是参数0的
6、无偏估计，如果有D(0 ) 0，都有limP | 9-0 |8 = 1 ,ns则称0是的相合估计(一致估计)。可以证明，矩法估计都是相合估计。除了极个别的例外，极大似然估计也都是相合估计。6) 数理统计中几个常用的分布X2分布定义6.4若有X , X，,X相互独立，XN(0,1), i二1, 2, n，则称工X 212niii=1所服从的分布为自由度是n的X2分布，记为X2(n)。X2分布的概率密度为X2分布的图象见图6-2。定理 如果有2X 2(m), nX 2(n)，相互独立，则+nX 2(m + n)。即X2分布具有可加性。t分布定义若有EN(0,1),耳X2(n),相互独立，则称-JU
7、Jn/ n所服从的分布为自由度是n的t分布，记为t(n)。t分布的概率密度为r(nil2t分布的图象见图6-3。图6-3F分布定义若有gX 2(m), nX2(n)，相互独立,则称所服从的分布为自由度是(m, n)的F分布，记为F(m, n)。F分布的概率密度为m + n)m nm 2 n 2m亠n(mx + n) 2F分布概率密度的图象见图6-4。定理如果FF(m, n)，则必有丄F(n, m)F三大抽样分布三大抽样分布的严格定义见定义6.4, 6.5, 6.6,构造性定义可简示如下:N(0,1)|2 +. + |N(0,1)|2 x 2 (n)X 2 (m ) / mX2 (n)/nF (
8、m, n )其中0代表分布F对应的随机变量.7) 正态总体统计量的分布定理 设(X , X，,X )是总体gN(PQ2)的样本，X是样本均值，则有12nXN(卩,空)，即有 兰二匕、切N(0,1)。nc定理 设(X , X，,X )是总体gN(PQ 2)的样本，X是样本均值，S 2是12nnS 2样本方差，则有(1) X与S 2相互独立；(2)x 2(n -1)。C 2定理 设(X , X，,X )是总体gN(PQ 2)的样本，X是样本均值，S *是12nX - u _修正样本标准差，则有nt(n -1)。S *定理 设(X , X ,X )是总体gN(PQ2)的样本，(Y, Y,Y )是2m
9、1112n总体nN(巴Q2)的样本，两个样本相互独立，X，Y是g，耳的样本均值，则有N(0,1)。(X Y)-(卩卩)土2:C 2 C 24 +2m n定理 设（X , X ,X ）是总体gN（PQ2）的样本，（Y, Y,Y ）是2m1112n总体nN （巴Q 2）的样本，其中Q1 =c 2 ,两个样本相互独立，X , F是g，耳的样本均值，s 2, s 2是g, n的样本方差，则有x y(X Y) _(片巴).11+ mnt (m + n 一 2)其中,1 mS 2 + nS 2S 1xyw m + n 一 2总体g,n为正态分布，（X，,X ）与（Y，,Y ）分别为其样本时，几个重要结论及
10、关系:1m1n6.4自测题六、判断题（正确用“+”，错误用“-”）1. 无论总体g服从什么分布，只要总体的期望和方差存在，当样本容量很大时，样本均值x都近似服从正态分布.（）2. 参数9的矩法估计一定是0的无偏估计.（）3. 从一批零件中有放回地取5个，结果发现前2个是次品，后3个为正品，贝9这批零件的2次品率P的矩法估计值为5.（）4. 设总体g服从参数为九普阿松分布，（X ,X，,X ）为取自总体的样本，则参数九的极12n大似然估计是无偏的.（）（） 代卩）25. 设gN2丿，则 丄上 服从咒2分布.（）（丿6.设总体gN (pQ21 2则U F（1，X）.（）27.设（X ,X ,.,
11、X ）为取自总体gN（RQ2）的样本，X为样本均值，S*为样本修正标12n准差,F(1,n).(8.设总体g）,X和S*2分别为其样本的均值与修正方差，则对任意常数a ,卩二aX +（1 - a ）S *2都是卩的无偏估计.（）9.设总体gN（0,1）, X为样本（X1,X2,和的均值，则刖F（1,1）.（）10.设总体g服从参数为九的指数分布，X为样本均值，则九的矩法估计和极大似然估计1者B是亏.（）二、选择题1.设（X , X ,., X ）是总体g的样本，g12nN （卩,6）,其中卩Q2均未知，下列表达式中只有（）是统计量.(A)1 工 Xn ii=1(B)丄Yxbii=1(C) 1
12、工 X 2 n ii=1(D) Y (X - Jb 2ii=12.设（X ,X ,.,X ）是取自总体gNG,b 2）的样本，可以作为b 2的无偏估计的统计量(A) 1Y X 2 n ii=1占工Xi2i=1i=1i=13.设总体gN （pQ2无偏估计中，最有效的是（）(A) 口 二 0.2X + 0.8X1 1 2(B) n 二 0.4X + 0.6X2 1 2(C) a 二 0.7X + 0.3X312(D)二 0.9X + 0.1X4124.设随机变量X1和X2都服从标准正态分布,（A）X12+鲨服从Z2分布(B)X 2 X 2服从X 2分布 1 2（C） X12/X；服从F分布(D)X2和X2都服从X2分布1 25.设总体gNGq 2）,（X ,X ,X ,X.）为g的样本，则下式中服从t（2）分布的统计量是X + X(A)土 2 + X 24(B)X + X1 22 + X 24)22 X 3、迂(X + X1JX 2 + X 2346.设随机变量gn(a q 2),耳n(a q 2),且g与耳相互独立，而(x ,x，,x ),112212m(C)X 也2 + X 2)3 4(D)（已,.,-）分别为g测的样本，则有（）(A)x Yn(a+a q2 +g2)1 2 1 2G 2 G 2 (B) xy n a a , 1 + 2 (12 m n 丿/ 一 一
