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1、递推数列通公式考点精析江苏省宜兴市丁蜀高级中学 汤文兵 金晓政 邮编214221作为给出数列基本方式之一的递推公式，在近几年高考题目中占着不小的比重。仅在2005年进行的高考中，有关递推公式的试题就不少于10题。因此，研究由递推公式求数列通项公式是很有必要的。下面谈谈递推数列通公式的求解策略。一、观察、归纳、猜想例1、设数列an的首项a1=a，且,记，nl，2，3，（I）求a2，a3；（II）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；（2005北京、理）解：（I）a2a1+=a+，a3=a2=a+；（II） a4=a3+=a+, 所以a5=a4=a+,所以b1=a1=a, b2=a3=(a)
2、, b3=a5=(a),猜想：bn是公比为的等比数列 证明如下： 因为bn+1a2n+1=a2n=(a2n1)=bn, (nN*) 所以bn是首项为a, 公比为的等比数列点评： 本例的求解是先由递推公式算出前几项，找到规律，归纳、猜想出通项公式。同时，这也给我们提供了一种思路：当“无路可走”时，可考虑多写几项归纳规律后再用归纳法证明；这种解法虽操作简单，但需较强的观察能力。二、辅助数列法例2、已知数列满足。若，则x1=(A) (B)3 (C)4 (D)5 （2005广东）解：由得：=，即数列是以为首项，为公比的等比数列， ，选B。点评：这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式，
3、其实质是构造一个新数列。一般地，当递推式为an+1=pan+q（p、q为常数）时，可化为an+1+=p(an+)。这样便构造了一个新的等比数列an+。当an+1=pan+q中的q不是常数，而是一个关于的函数式时，该如何呢？三、叠加法例3、已知数列，且，其中k=1,2,3,.（I）求a3, a5；（II）求 的通项公式. （2004理科数学（必修+选修）解：（I）a2=a1+(1)1=0, a3=a2+31=3. a4=a3+(1)2=4, a5=a4+32=13, 所以，a3=3, a5=13. (II) =， 所以 同理 将以上式子相加得=(3k1)+(1)k1, 于是a2k+1= = a2
4、k1+(1)k=(1)k11+(1)k =(1)k1. an的通项公式为：点评：若数列an满足的递推式，其中f(1)+f(2)+f(n-1)可求，则可用叠加法求通项。与叠加法类似的还有如下的叠乘法:四、叠乘法例4.已知an为首项为1的正项数列，且（n+1）(n=1,2,3,)，则= 。 （2000全国）分析：由已知得，得，以上式子相乘，得，。点评：若递推式为，则可用叠乘求出通项；五、叠代法例5、已知数列求数列的通项公式an. （2005江西、理科）解： 所以,又b1=1，所以, 点评：经变换构造得新数列的一个递推关系式，难以用前述方法求解，故采用了叠代法。一般地，形如 =()类的通项公式，宜采用此方法。六、Sn法例5、数列an的前n项和为Sn，且a1=1，n=1，2，3，求 a2，a3，a4的值及数列an的通项公式；（2005北京、文史类）解：由a1=1，n=1，2，3，得，由（n2），得（n2），又a2=，所以an=(n2), 数列an的通项公式为；点评：求与前n项和Sn有关的数列通项时，通常用公式作为桥梁，此时既可将Sn转化为的关系式，又可将转化为Sn的关系式。但用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”即a1和an合为一个表达式。因此要分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。
