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1、复杂应力状态强度问题8-4试比较图示正方形棱柱体在下列两种情况下的相当应力 r3 ，弹性常数 E 和 均 为已知。(a) 棱柱体轴向受压；(b) 棱柱体在刚性方模中轴向受压。题 8-4 图(a)解：对于棱柱体轴向受压的情况（见题图 a），三个主应力依次为1 = 2 = 0，3 = 由此可得第三强度理论的相当应力为2r3 = 1 3 = (a)(b)解：对于棱柱体在刚性方模中轴向受压的情况（见题图 b），可先取受力微体及坐标如图 8-4 所示，然后计算其应力。由图 8-4 可得 y = 根据刚性方模的约束条件，有x =即1 Ex ( y+ z) = 0 x = ( y + z )注意到 z =
2、x故有 x = z= 1 三个主应力依次为1 = 2= 1 ，3= 由此可得其相当应力为r3= 1 3= 1 2 1 (b)比较：按照第三强度理论，(a)、(b)两种情况相当应力的比值为r =r3( a ) = r3( b )1 1 2 r 1 ，这表明加刚性方模后对棱柱体的强度有利。8-5图示外伸梁，承受载荷 F = 130kN 作用，许用应力 =170MPa。试校核梁的强 度。如危险点处于复杂应力状态，采用第三强度理论校核强度。解：1.内力分析题 8-5 图3由题图可知， B+ 截面为危险截面，剪力与弯矩均为最大，其值分别为Fs = F = 130kN， M= Fl2= 130 103 N
3、 0.600m = 7.80 10 4 N m2几何量计算3I = 0.122 0.280z12 5 (0.122 0.0085) (0.280 2 0.0137)12m4 = 7.07 10 5 m4W = 7.07 10z0.140m3 = 5.05 10 4 m3S z ( b )= 0.122 0.0137 (0.140 0.0137 )m3 = 2.23 10 4 m3 = 2S2z ( a )S z , max= 2.23 10 4 + 1 0.0085 (0.140 0.0137)2 m3 = 2.90 10 4 m32式中的足标 b ，系指翼缘与腹板的交界点，足标 a 系指上翼
4、缘顶边中点。三个可能的危险点（ a 、 b 和 c ）示如图 8-5。3应力计算及强度校核点 a 的正应力和切应力分别为M =7.80 104 N= 1.545 108Pa = 154.5 MPazW5.05 104 m234F S =s z ( a )= 130 101.115 10N = 1.496 107Pa = 14.96MPaI z t7.07 105 0.0137m2该点处于单向与纯剪切组合应力状态，根据第三强度理论，其相当应力为 r 3 = 2 + 4 2 =154.52 + 4 14.96 2 MPa = 157.4MPa 点 b 的正应力和切应力分别为 = M yb43= 7
5、.80 10 (0.140 0.0137)N = 1.393 108Pa = 139.3 MPazI7.07 105 m2F S =s z ( b )= 130 10 2.23 104N = 4.82 107Pa = 48.2MPaI z 7.07 105 0.0085m2该点也处于单向与纯剪切组合应力状态，其相当应力为 r 3 =139.3 2 + 4 48.2 2 MPa = 169.4MPa 点 c 处于纯剪切应力状态，其切应力为F S = s z , max3= 130 10 2.90 104N = 6.27 107Pa = 62.7MPa其相当应力为I z 7.07 10 5 0.0
6、085m 2 r 3 = 2结论：该梁满足强度要求。= 2 62.7MPa = 125.4MPa4强度校核依据第三强度理论，上述三点的相当应力依次为 r3( a ) = 1 3 = 155.9 (1.44) MPa = 157.3 MPa r3( b ) = 154.4 (15.05) MPa = 169.5 MPa r3( c ) = 2 = 2 62.7MPa = 125.4MPa它们均小于许用应力，故知该梁满足强度要求。8-8图示曲柄轴，承受载荷 F = 10kN 作用。试问当载荷方位角 为何值时，对截面A-A 的强度最为不利，并求相应的相当应力 r3 。解：1.分析内力题 8-8 图由
7、于 A - A 为圆形截面，其任一直径均为主形心轴，故载荷 F 无需分解，可直接用以分 析内力。根据平衡关系，截面 A - A 上的剪力、弯矩和扭矩值（绝对值）分别为Fs = F = 10kN，M= Fl = 10 103 0.070N m = 700N mT = Facos由此可见， F 的方位角 对剪力和弯矩值并无影响，它只改变扭矩的大小，当取最大值，对截面 A - A 的强度最为不利，其值为= 0 时扭矩Tmax2计算相当应力= Fa = 10 103 0.240N m = 2.40 103 N m截面 A - A 上铅垂直径的上、下点为可能的危险点，按照第三强度理论，其相当应力为r3
8、=22M + TmaxW= 32 7002 + (2.40 103 )2 N 0.0603m2= 1.179 108 Pa = 117.9MPa(a)由于是短粗轴，弯曲剪力产生的切应力应予考虑，这时截面 A - A 上水平直径的左端点，为又一个可能的危险点，该点处的正应力为零，而切应力则为 = + = 16Tmax + 4 4Fs1 2 d 333d 23= (16 2.40 10 0.0603其相当应力为+ 16 10 10 ) N3 0.0602 m2= (56.6 + 4.72) 106 Pa = 61.3MPar3 = 2 = 2 61.3 MPa = 122.6MPa(b)比较式(a
9、)和(b)可知，该轴真正的危险点是截面 A - A 上水平直径的左端点，其相当应力如式(b)所示。顺便指出，本题计算相当应力的另一种方法是先求( ) 、 ( ) ，再求 r3 ( ) 。这里的从截面 A - A 上左边水平半径量起，以顺钟向为正。将 r3 ( ) 对 求导，寻找其极值位置，找到的极值位置是 = 0 ，由此确定的危险点同上述真正的危险点，相当应力当然也同式(b)。8-9图示某段杆的弯矩 My 与 Mz 图，它们均为直线，且其延长线分别与 x 轴相交于 c和 d 点。试证明：如果 c,d 点不重合，则该段杆的总弯矩 M 图必为凹曲线。题 8-9 图证明：本题用几何法证明比较简便而直
10、观。 证明要点如下：1将题设 M y 图线和 M z 图线画在图 8-9(a)所示的三维坐标系中（图 a 中的直线 e1 f1 和e2 f 2 ）。2画总弯矩（合成弯矩）矢量 M 的矢端图 e3 f 3（它为两个坐标平面的两个垂面 e1e3 f 3 f1与 e2 e3 f 3 f 2 的交线。）3将矢端图 e3 f 3 向坐标平面 M y OM z 投影，得其投影图线 ef 。ef 直线上任一点与原点O 的连线，即代表某一截面总弯矩的大小（为清楚起见，参看图 b）。4将 M 由大（ M a ）到小（ M min ）、又由小到大（ M b ）连续变化的函数关系画在平 面坐标系 xoM 中，即成图
11、(c)所示之凹曲线。8-10图示齿轮传动轴，用钢制成。在齿轮 1 上，作用有径向力 Fy = 3.64kN、切向 力 Fz = 10kN；在齿轮 2 上，作用有切向力 Fy = 5kN、径向力 Fz = 1.82kN。若许用应力 =100MPa，试根据第四强度理论确定轴径。题 8-10 图解：将各力向该轴轴线简化，得其受力图如图 8-10(a)所示。内力图（ M z 、 M y 和T ）分别示如图(b)、(c)和(d)。由内力图和 8-9 题所证明的结论可知，截面 B 和 C 都可能为危险面。对于截面 B ，总弯矩为M B =1000 2 + 364 2N m = 1064N m(a)对于截面 C ，总弯矩为M C =227 2 + 5682N m = 612N m(b)比较式(a)和(b)可知，截面 B 最危险
