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1、4 定积分的性质教学目的与要求：1. 理解并掌握定积分的性质极其证明方法.2. 逐步学会应用定积分的性质证明定积分的有关问题.教学重点，难点：1. 定积分的性质极其证明方法.2. 应用定积分的性质证明定积分的有关问题.教学内容： 一 定积分的基本性质 性质1 若f在a,b上可积，k为常数，则kf在a,b上也可积，且. （1） 证 当k=0时结纶显然成立. 当k时,由于 其中J=因此当f在a,b上可积时,由定义,任给 从而 即kf在a,b上可积，且性质若fg都在a,b可积，则f在a,b上也可积，且 （2）证明与性质类同。注1 性质与性质是定积分的线性性质，合起来即为其中a为常数。注2 在f，g，
2、h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有任意两个在a,b上可积，则另外一个在a,b上可积.在f，g，h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有一个在a,b上可积，一个在a,b上不可积， 则另外一个在a,b上必不可积.性质 若fg都在a,b上可积，则fg在a,b上也可积。证由f、g都在a,b上可积，从而都有界，设且，（否则f、g中至少有一个恒为零值函数，于是f、g亦为零值函数，结论显然成立）。任给由f、g可积，必分别存在分割、，使得令（表示把、的所有分割点合并而成的一个新的分割T）。对于a,b上T所属的每一个，有 利用3习题第1题，可知 这就证得fg在a,b上可积.注 在一般情形下.思考：有没有相
3、除后可积的性质？ 若fg都在a,b上可积，|f(x)|m0,xa,b,则在a,b上可积.事实上，由条件可证在a,b上可积(本节习题第7题).再由性质3知在a,b上可积.性质4 f在a,b上可积的充要条件是：任给，在a,c与c,b 上都可积。此时又有等式 （3） 证 充分性 由于f在a,c与c,b上都可积，故任给分别存在对a,c与c,b的分割，使得 现令它是a,b的一个分割,且有由此证得f在a,b上可积.必要性 已知f在a,b上可积,故任给存在对a,b的某分割T,使得在T上再增加一个分点C,得到一个新的分割由3习题第一题,又有 分割在a,c和c,b上的部分,分别构成对a,c和c,b的分割,记为,
4、则有 这就证得f在a,b和b,c上都可积. 在证得上面结果的基础上最后来证明等式(3).为此对a,b作分割T,恒使点C为其中的一个分点,这时T在a,c与c,b上的部分各自构成对a,c与c,b的分割,分别记为.由于 因此当时,对上式取极限,就得到(3)式成立. 注 性质4及公式(3)称为关于积分区间的可加性.当时,(3)式的几何意义就是曲边梯形面积的可加性.如图9 10所示,曲边梯形AabB的面积等于曲边梯形AacC的面积与CcbB的面积之和. 按定积分的定义,记号只有当ab时才有意义,而当a=b或 ab时本来是没有意义的.但为了运用上的方便,对它作如下规定: 规定1 当a=b时，令 规定2 当
5、ab时，令 有了这个规定之后，等式（3）对于a、b、c的任何大小顺序都能成立。例如，当 abc时，只要f在a，c上可积，则有 = 性质5 设f为a，b上的可积函数。若则 （4） 证 由于在a，b上，因此f的任一积分和都为非负。由f在a，b上可积，则有 推论（积分不等式性）若f与g为a，b上的两个可积函数，且a，b，则有 （5） 证 令Fa，b，由性质2知道F在a，b上可积，且由性质5推得 不等式（5）得证.性质6 若f在a，b上可积，则在a，b上也可积，且 （6）证 由于f在a，b上可积，故任给0，存在某分割T，使得由绝对值不等式 可得知于是有 从而证得在a,b可积。 再由不等式应用性质5（推
6、论），即证得不等式（6）成立。 注 这个性质的逆命题一般不成立，例如 在0，1上不可积（类似于狄利克雷函数）；但它在0，1上可积。 例1 求其中 解 对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即 注1 上述解法中取其中被积函数在x=0处的值已由原来的由3习题第3题知道这一改动并不影响f在-1，0上的可积性和定积分的值。 注2 如果要求直接在-1，1上使用牛顿一菜布尼茨公式来计算这时F（x）应取怎样的函数？读者可对照2习题第3题来回答。例2 证明：若f在a,b上连续，且 证 用反证法。倘若有某x0a,b使f则由连续函数的局部保号性，存在的某邻域，使在其中由性质4和性质5推知 这与假设相
7、矛盾。所以 。 注 从此例证明中看到，即使f为一非负可积函数，只要它在某一点处连续，且则必有（至于可积函数必有连续点，这是一个较难证明的命题，读者可参阅6习题第7题.）二 积分中值定理定理9.7 （积分中第一中定理） 若f在a,b上连续，则至少存在一点，使得 （7）证 由于f在a,b上连续，因此存在最大值M和最小值m.由,使用积分不等式性质得到 或再由连续函数的介值性，至少存在一点使得 这就证得（7）式成立。 积分第一中值定理的几何意义：如图9 11所示，若f在a,b上非负连续，则y=f()在a,b上的曲边梯形面积等于以（）所示的为高，a,b为底的矩形面积。而则可理解为在区间a,b上所有函数值
8、的平均值。这是通常有限个数的算术平均值的推广。注 把定理中f在a,b上连续，减弱为f在a,b上可积.定理结论为：若f在a,b上可积， 则存在 使.事实上，由，有 从而有令，则 且.性质7中的f()与这里的都可看作函数在区间a,b上所有函数值的平均值。例3 试求在0，上的平均值。解 所求平均值为 定理9.8（推广的积分第一中值定理）若f与g都在a,b上连续，且g(x)在a,b上不变号，则至少存在一点a,b，使得 （8）（当g(x)=1时，即为定理9.7）证 不妨设g(x)0，xa,b，这时有 其中M、m分别为f在a,b上的最大、最小值。由定积分的不等式性质，得到若则由上式知从而对任何a,b，（8）式都成立。若则得 由连续函数的介值性，必至少有一点a,b，使得 这就证得（8）式成立。注1 类似于定理9.7的注，本定理的结论亦可推广.其结论见第9题.注2 事实上，定理9.7和定理9.8中的中值点必能在开区间(a,b)内取得(证明留作习题第8题),但这并不排除中值点同时能在端点a或b取得，因为中值点可以是不唯一的.积分第二中值定理将在下一节里给出.课后作业题：3. 2) 4) 4. 5. 6.
