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1、Finite Element Method3面力的移置设三角形单元某边界s 上受面力q 作用，分量为，则取ds 则由一般公式： 积分在边界s上以上三种载荷的等效节点荷载由公式e导出通常我们称： 为荷载移量的一般公式：几点说明：1 虚功等效静力等效。 唯一性2 一般3 更多节点的单元公式形式不变，但不同4 虽然公式e导出但对于面力和体力的计算都是很麻烦和困难的 N为x,y 的函数，若p, q再为 x, y 的函数则更难，且单移分限不好定。因此，我们将来还要进一步把这个问题解决好。四 三角形单元的面积坐标（自然坐标，局部坐标）1 面积坐标的定义：图示三角形单元I ,j ,k 中任意一点m ，其位置
2、可由xoy坐标系中两个坐标来确定，即m(x,y)若我们连接,则形成了3 个小三角形ijm, ikm, jkm.则有：若m(x,y)确定ijm, ikm, jkm.面积确定。反之，ijm, ikm, jkm.面积确定m(x,y)确定（用同底等高的概念解释！）因此，三角形单元内任一点可以我们如何用三角形面积来描述m点的位置呢？定义：节点I对边为底的三角形面积为;节点j对边为底的三角形面积为;节点k对边为底的三角形面积为;设三角形单元的面积为A令 （2-37）则三个比值，称为三角形单元中m点的面积坐标.2.三角形面积坐标的性质：1 面积坐标为三角形单元的局部坐标，与三角形的形状及位置无关。其定义域为
3、 ；2 三个面积坐标之和：+=1.即只有两个面积坐标是独立的。（2-38）证明：+=+=（+）=1 （亦可几何解释）。3 三角形单元内与jk边平行的直线上各点相同（轮换）。（同底等高三角形=）4 形心处的面积坐标为： =1/3 （2-39）5 三角形单元节点的面积坐标为： （2-40）证：节点I: =A. =0.3.三角形面积坐标与直角坐标及形函数的关系下面我们来推导面积坐标与直角坐标的关系：设m点的坐标为m(x,y),m 为任一点则：= =（）=（）+（）+（）显然： ， ，=（） （2-41） 与表达式比较可知：三节点三角形单元的面积坐标就是其形函数。（对于一般的情况：面积坐标永远是线性坐
4、标而形函数可以是非线性的，以后我们可以把形函数用面积坐标表示）即=， （2-42）具有的全部性质 式（2-41）还可写成矩阵的形式： 直面 （2-44）这就是直角坐标与面积坐标的转换关系。下面的结果留给大家自己证明： 面直 （2-45）4 面积坐标函数的运算我们可以不加证明得地给出面积坐标函数的微积运算结果。（证明复杂麻烦用函数等）1.偏导 设z=f(,) =g(x,y) (I= I ,j ,k)则： （2-46）2 面积分 （2-47）其中，为正整数； 0!1, A: 三角形面积ex: (I= I ,j ,k)3.线积分： （s为直线长） （2-48）以上公式要会用 注意表示的边五 三角形单
5、元的荷载移置有了面积坐标与形函数的关系，我们即可对荷载移置进行计算了。1 集中力的移置 设m点作用有集中力m点的形函数为： (I= I ,j ,k)等效节点荷载为：这就是三角形单元内m点作用有的等效节点荷载。只要计算出(I= I ,j ,k)即可。作为特例，考虑三角形单元形心处重力的移置。形心坐标：=0 =-R故：重力作用于形心时各节点均担。2. 体积力的移置设单元作用有体力 则等效节点荷载为：= 若为x, y的函数，则把用面积坐标表示（转换）在常体力的作用下有：=即：常体力作用下，总体力均分三节点。2 面力的移置。 设三角形单元I ,j 边上作用有梯形分布的面力q 由面力移置公式得：（可分别
6、由节点合力表示及用节点分力表示） = （q为合力，非分力）则 = q为x, y 的函数，把q 表示面积坐标的函数有q= ，在门边上是线性坐标，可利用两点式方程写出。 则：=同理：=+注意到在s上=0=0故：=或：=此法：1. 避免复杂的分离。 2. 便于编程计算。特例：若分布荷载为三角形分布。令（或）则有：= （近端为2 ，远端为1）说明：用以上积分的方法求等效节点荷载适用于任意节点的三角形单元，形函数也未必是线性的。六 三角形单元节点荷载的形成 经过荷载处理后，我们已把非节点的荷载转化为常点荷载。实际计算的荷载为：计算荷载=原节点荷载+等效节点荷载即： （2-49）等效节点荷载要注意：1 同
7、时贡献的问题2 用哪个单元计算的问题。七计算结果的整理：有限元计算提供的结果一般为：1。节点位移 2。单元应力1 节点位移的处理：一般把节点位移按比例标出，提供出结构常点位移分布规律1 连成折线（线性位移函数）2 连成光滑曲线（实际变形）2 单元应力的处理：输出的单元应力一般为，（形心处）（三节点单元为常应力元，无所谓）1 变换为单元的主应力。，, （材力）2 变换为节点应力的主应力。 （） （平均法） Ex. 节点5的应力为：即：= （x, y, xy ）(,)(,)然后标出应力变化曲线。计算结果的工作量随结构的单元，节点划分增加面增大。要关注的是：1）位移的变化规律 2）应力的最大值及发生
8、地点。小概念：位移最大的地方，应力未必最大。八：有限元计算小结：1 基本原理：连续法有限个节点连接，有限大小的单元的组合法。建立的节点位移为未知数，总刚为系的阶线性代数方程组。2 研究方法（确定）节点位移单元位移单元应变单元应力单刚总刚计算荷载（等效节点荷载）约束处理求解方程整理结果解答特点：假定单元内的位移分布规律，近似离散的数值解。误差主要来源于：结构离散（连续离散），假定位移分布。收敛性：单元缩小划分细密收敛于精确解。Chap3. 平面问题较精密单元的分析（矩形，高阶单元，等参单元）3-1 问题的提出在三角形单元中，我们假定位移函数是线性的。即：单元内的位移按线性规律变化。这是最简单，最
9、基本的一个有限单元。而实际结构中在外载荷的作用下位移分布常非按线性变化。设单元位移曲线为图示的f(x).显然，用线性插值解的精度较差。提示解的精度的方法：1 增加单元，节点数（工作量大，费用高）2 提高插值阶数因此，提出了用高阶插值，高阶单元的问题我们大家都知道,位移是一个连续函数（连续体），而任意的连续函数都是可以展成幂级数，用幂级数来表示的。因此，一个单元内的位移分布为f(x)时，我们就可以取级数的前几项来表示它。用二次三次函数来插值，以改善计算结果。至于等参数单元（等参单元）是一种为清除曲边误差而 出的一种单元。如果实际结构为曲线边界，则无论怎样提高位移函数（插值）的阶数也不能使解得到多
10、大的改善。有限个直边代替曲边，终究是代替，而不会是相等。为了处理曲边问题，人们提出了等参单元的概念。有平面等参单元，空间等参单元等。我们只向大家介绍平面等参单元，以供了解。3-2 四节点矩形单元的有限元分析。 矩形单元常用于规则边界的有限元分析，它也是常用的一种有限单元。一 单元的位移函数。设单元e为矩形单元，边长为2a,2b;其节点为I,j,k,m;为研究方便我们取局部坐标系x-y如图（原点在形心）。1 单元的自由度及位移函数：4个节点，每个节点2 个自由度（位移）u,v，则单元的总自由度为8个。为保证单元的收敛性准则，位移函数必须保证有常数项，线性项。设位移函数为：（对称性与坐标选择无关）
11、 （U 关于坐标对称） （3-1）其中xy项是根据pascal三角形及xy的对称性选取（选二次项尚有协调问题，选，项不行）这样，已知（i=1，2，3，4）这八个节点位移（i=1，28）2.形函数的推导：同理： 我们不难从前4个方程中解出，具体做法：+： +：v+： -: v- : v- v =u=令： （3-2）则： （3-3）式（3-2）称为节点矩形单元的形函数；式（3-2）尚可写为： (I =I, j, k, m) (3-4)式（3-3）为节点位移表示的单元位移函数。式（3-3）还可以写成矩阵的形式 = （3-5）式中：= （3-6）二. 形函数的性质：1形函数（I =I, j, k, m
12、）在节点I 上=1,在其余节点上=0 （轮换）即在 节点I ：=1 节点j: =0 (j)= = 节点k: =0 节点m: =0 证明： （i=I, j, k, m）在节点ix=,y=时：=1j, k, m各节点至少有一个节点坐标x=-或y=-故=0 （i=j, k, m）同理可得到全部结果。24个形函数之和：+证明：写出形函数（，的符号与该点的，相同） += =1因此：4个形函数只有3 个是独立的。在I j边上，0（节点除外），=0 （轮换）（一条边上的四个）证明：在I j边上，y=, (x-)在I, j 边上，y= （x-） I, j边上 y=-=0同理：I, j边上：=0。 证毕4在4 条边界上的性质（节点除外） 在包含节点I 的边界上，0，否则=0。（轮换）（四条边上的一个）证明：性质3 的另一种表述 在包含节点 I 的边界上：X=， 或 y=显然有： （y）或 （节点j, m除外）在不包含节点I 的边界上：X=- 或y=- 显然：=0得证由以上的性质，我们可以描述的几何图形。三 位移函数的性质1 位移函数是双线性的位移函数： 显然, u, v包含坐标x y的二次项x y，但当x=const 或y=const时U,V都是一个线性函数。 即：在单元内任一点，无论沿x方向变化（此时y=const）或沿y 方向变化（
