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1、数学基础知识与典型例题（第十章排列、组合、概率与统计）排列与组合1分类计数原理: 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，在第n类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有N= n1+n2+n3+nM种不同的方法2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第一步有种不同的方法,做第二步有种不同的方法,做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=n1n2n3nM 种不同的方法注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不过利用分类计
2、算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题，常先分类再分步。3.排列的定义：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.排列数的定义: 从n个不同元素中取出m(mn)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数， 用符号表示. 其中n，m，并且mn排列数公式: 当m=n时，排列称为全排列，排列数为= 记为n!, 且规
3、定O!=1.注： ; 4.组合的定义: 从n个不同的元素中任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.组合数的定义: 从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有组合数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号表示.组合数公式: .规定，其中m，nN+，mn.注: 排列是“排成一排”，组合是“并成一组”, 前者有序而后者无序.排列与组合组合数的两个性质: 从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的. 根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素
4、，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C种，依分类原理有. 5解排列、组合题的基本策略与方法()排列、组合问题几大解题方法：直接法; 排除法;捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题
5、中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法. ()排列组合常见解题策略：特殊元素优先安排策略； 合理分类与准确分步策略；排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；正难则反，等价转化策略； 相邻问题插空处理策略；不相邻问题插空处理策略； 定序问题除法处理策略；分排问题直排处理的策略
6、； “小集团”排列问题中先整体后局部的策略；构造模型的策略.6.二项式定理:对于，,这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的展开式.注:展开式具有以下特点：项数：共有项；系数：依次为组合数且每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开.二项展开式的通项：的展开式第r+1为.二项式系数的性质.二项展开式中的叫做二项式系数在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；即排列与组合二项展开式的中间项二项式系数最大且当时，二项系数是逐渐增大，当时，二项式系数是逐渐减小的()当n是偶数时,中间项是第项,它的二项式系数最大;()当n是奇数时,中间项为两项
7、,即第项和第项,它们的二项式系数最大.系数和：所有二项式系数的和：;奇数项二项式系数的和偶数项而是系数的和: .如何来求展开式中含的系数呢？其中且把视为二项式，先找出含有的项，另一方面在中含有的项为，故在中含的项为.其系数为.二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。排列与组合例1. 3个班分别从5 个景点中选择1处游览，不同的选法种数是( )(A)5 (B)3 (C)A (D)C例2. 5本不同的课外读物分给5位同学,每人一本,则不同的分配方法有( )(A)20种 (B)60种 (C)120种 (D)100种例3. 6个人排成一排，
8、甲、乙、丙必须站在一起的排列种数为( ).(A)(B)(C) (D)例4. 如果集合A=x21，则组成集合A的元素个数有( ).(A)1个(B)3个(C)6个 (D)7个例5.如果的展开式中各项系数之和为128,则展开式中的系数是( )(A)7 (B) (C)21 (D)例6. 设(1+x)+(1+x)+(1+x)= a+ax+ax+ax则a= ( ) (A) C (B) C (C) 2C (D) C例7. 在的展开式中，的系数是( )(A)-297 (B)-252 (C)297 (D)207例8. 对于小于55的自然数，积(55-n)(56-n)(68-n)(69-n)等于 ( )(A)A
9、(B)A (C)A (D)A例9. 若(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+a8x8+a9x9，则a1+a2+a8的值为_.排列与组合例10. 一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n3，nN)等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花.如图1，圆环分成的3等份为a1，a2，a3，有多少不同的种植方法？如图2，圆环分成的4等份为a1，a2，a3，a4，有多少不同的种植方法？如图3，圆环分成的n等份为a1，a2，a3，an，有多少不同的种植方法？概率1.随机事件及其概率:必然事件:在一定的条件下必然要发生的事件,叫做必然事件.不可
10、能事件: 在一定的条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件.随机事件: 在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件.随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总是接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件的概率,记作.概率从数量上反映了一个事件的可能性的大小,它的取值范围是,必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.2.等可能事件的概率:基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件.等可能事件的概率:如果一次试验由个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是,如果某个事件包含的结果有个,那么事件的概
11、率为.3.互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：.对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 对立事件的概率和等于1：. 互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件. 从集合的角度看，由事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集I中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 概率4. 相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件.注: 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥
12、事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(AB)=P(A)P(B). 证明：设甲试验共有N1种等可能的不同结果，其中属于A发生的结果有m1种，乙试验共有N2种等可能的不同结果，其中属于B发生的结果有m2种，由于事件A与B相互独立，N1，m1与N2，m2之间是相互没有影响的，那么，甲、乙两试验的结果搭配在一起，总共有N1N2种不同的搭配，显然这些搭配都是具有等可能性的.另外，考察属于事件AB的试验结果，显然，凡属于A的任何一种试验的结果同属于B的任何一种乙试
13、验的结果的搭配，都表示A与B同时发生，即属于事件AB，这种结果总共有m1m2种.因此得：P(AB), P(AB)P(A)P(B)注:当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.推广:如果事件相互独立,那么独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：.(注:此式为二项式(1-P)+Pn展开式的第k+1项.)注: 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与与B，与也都相互独立.对任何两个事件都有概率例11. 10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是( )(A) (B) (C) (D)例12. 2006年6月7日,甲地下雨的概率是0.15，乙地下雨的概率是0.12.假定在这天两地是否下雨相互之间没有影响,那么甲、乙都不下雨的概率是( )(A) 0.102 (B) 0.132 (C) 0.748 (D) 0.982例13. 从1，2，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是( )(A)
