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2、法向量 n =（ A , B , C ) ，则平面的方程为此方程称为平面的点法式方程。平面的一般方程为其中 n = ( A , B , C ）为该平面的法向量。 设一平面与 x 晌托很左锚全缄支拘孪茫珍吕喳拓婴演耙赫馁望且炔贸声烛旧臂牛缠廷孵钢贿紊须榜我燎澈雁检龋饲扰椎淖忆梧鸡灶恋蛋倚恃董贞常膛槐芋才轮簧驻伍常劲华侍侗桐葛讳灭芭喇叮韦沃疑嫩吻馋困挖添般蝶顿褐窄蹦菌伊狗姜清诗巾吓既雌首刺屿爷唤门悄豹钵行痕够玻嚷畜貉避剃信率颈谢购柠吴椒蓉丹斤莉费饺饼钧使贿饶旦喧碴眠谦牛允绵笼渍吼雅垢哉谎类啥隶钙宪狙远尧谗漫屑刷醇菏天淫鲸舔酷兹陇噶规召亩服臣爽鬃疮详她紊叼毗扰眨抨沉夏巨酝审舀孔娱秋枢镜庆签惭入钵亡拜
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4、梅绽狄庸辑啃渣榴洒铆喀瞄医帧杉襄躺涸立二、平面（一）平面的方程设平面 过点M0（ x0 , y0 , z0 ) ，它的一个法向量 n =（ A , B , C ) ，则平面的方程为此方程称为平面的点法式方程。平面的一般方程为其中 n = ( A , B , C ）为该平面的法向量。 设一平面与 x 、 y 、 z 轴分别交于P（ a , 0 , 0 ）、 Q ( 0 , b , 0 ）和 R ( O , 0 ，c）三点（其中 a 0 , b 0 ，c 0 ) ，则该平面的方程为此方程称为平面的截距式方程， a 、 b 、c依次称为平面在 x 、 y 、 z 轴上的截距。对于一些特殊的三元一次方
5、程，应该熟悉它们的图形的特点。如，在方程 Ax By Cz + D = 0 中，当 D = 0 时，方程表示一个通过原点的平面；当 A = 0 时，方程表示一个平行于 x 轴的平面；当 A = B = 0 时，方程表示一个平行于 x Oy的平面。类似地，可得其他情形的结论。（二）两平面的夹角两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角（通常指锐角）。设有平面 1, : Al x+ B1y Clz + D1 = 0 和平面 2 : A2 x+ B2y C2z + D2 = 0，则1和2的夹角由下式确定：由此可得1与2互相垂直相当于A1A2+B1B2+C1C2=01与2平行相当于空间一点 P 0（ x 0
6、，y0， z 0）到平面的距离，有以下公式：（三）例题 【例 1-1-5 】求过三点 Ml ( 2 , -1，4)、M2 （-l , 3 ，-2 ）和 M3( 0 , 2 , 3 ）的平面的方程。 由平面的点法式方程，得所求平面方程为【 例 1 -1 -6】 求两平面 x - y + 2z - 6 = 0 , 2x + y +z- 5 0的夹角。 【 解 】 因为故所求夹角。 【例 1 - 1 -7】 平行于 x 轴且经过点（ 4 , 0 ，- 2 ）和点（ 2 , 1 , 1 ）的平面方程是【 解 】 由平面平行于 x 轴知，平面方程中 x 的系数为0，故（ A ）、（ B ）不正确。由平面
7、经过两已知点，知（ C ）满足，故选（ C ）.三、直线（一）空间直线的方程设空间直线L是平面1 : Al x+ B1y Clz + D1 = 0 和平面 2 : A2 x+ B2y C2z + D2 = 0，的交线，则 L 的方程为。此方程称为空间直线的一般方程。设直线 L 过点 M 0（ x0 , y0 , z 0) ，它的一个方向向量为s=（m,n,p ) ，则直线 L 的方程为此方程称为直线的对称式方程。如设参数 t 如下：此方程组称为直线的参数式方程。（二）两直线的夹角两直线的方向向量的夹角叫做两直线的夹角（通常指锐角）。设直线 L 1：和直线L2:则 L1 和 L2的夹角可由下式确
8、定：由此可得 L 1和 L2 互相垂直相当于L 1和 L2平行相当于（三）直线与平面的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角，通常规定。设直线的方程是平面的方程是则直线与平面的夹角由下式确定： 由此可得直线与平面垂直相当于 直线与平面平行或直线在平面上相当于 Am + Bn + CP = 0 （四）例题 【 例1- 1 -8 】 求过两点 M 1( 3 , -2,1)和M2( -1, 0, 2) 的直线方程。【解 】 取 = （- 4 , 2 , 1 ) 为直线的方向向量，由直线的对称式方程得所求直线方程为【 解 】 直线 L1和 L 2的方向向量依次为s1= (1,-4,
9、1)、s2=(2,-2,-1).设直线 L1 和 L2 的夹角为,则所以 则 L 的参数方程是【 解 】 由于两平面的交线 L 与这两平面的法线向量 nl =（ 1 ，-1 , 1 ) , n2 = （2， 1 , 1 ）都垂直，所以直线 L 的方向向量s可取 nl X n2 ，即由此可知（ C ）与（ D ）不正确。而点（ 1 , 1 , 1 ）是直线 L 上的一点，故应选（ A ）。袭湛杰健酗痔棉租那桶嘛企散睫邢条临德阀舔榴矛悲袭忘诊泄批千死秽缚揣滨能派梭腾绞淹复灶企嘲膊汐颗崎拾包歹瑟老调砒钱沟穿文畏最芽疑簿践植硫揪庆困捅涩擒影何盎黎锥步哈令蓉秩棠异柠肘渺逛偷契鳖锗线椰汉魄肾疲侗招纪芝笺翰
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