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1、中考数学培优 易错 难题(含解析)之二次函数及答案一、二次函数1在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“衍生三角形”已知抛物线与其“衍生直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若AMN为该抛物线的“衍生三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“
2、衍生直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（-2，）；（1,0）；（2）N点的坐标为（0，），（0，）；（3）E（-1，-）、F（0，）或E（-1，），F（-4，）【解析】【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a即可；（2）过A作ADy轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求出ON的长，可求出N点的坐标；（3）分别讨论当AC为平行四边形的边时，当AC为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E、F坐标即可【详解】（1），a=，则抛物线的“衍生直线”的解析式为；联立两解
3、析式求交点，解得或，A（-2，），B（1,0）；（2）如图1，过A作ADy轴于点D，在中，令y=0可求得x= -3或x=1，C（-3,0），且A（-2，），AC=由翻折的性质可知AN=AC=，AMN为该抛物线的“衍生三角形”，N在y轴上，且AD=2，在RtAND中，由勾股定理可得DN=，OD=，ON=或ON=，N点的坐标为（0，），（0，）；（3）当AC为平行四边形的边时，如图2 ，过F作对称轴的垂线FH，过A作AKx轴于点K，则有ACEF且AC=EF， ACK= EFH，在 ACK和 EFH中 ACK EFH，FH=CK=1，HE=AK=，抛物线的对称轴为x=-1， F点的横坐标为0或-2，
4、点F在直线AB上，当F点的横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，E到y轴的距离为EH-OF=-=，即E的纵坐标为-， E（-1，-）；当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；当AC为平行四边形的对角线时， C（-3,0），且A（-2，），线段AC的中点坐标为（-2.5， ），设E（-1，t），F（x，y），则x-1=2（-2.5），y+t=，x= -4，y=-t，-t=-（-4）+，解得t=，E（-1，），F（-4，）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-）、（0，）或E（-1，），F（-4，）【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图
5、形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题2已知二次函数的最大值为4，且该抛物线与轴的交点为，顶点为.（1）求该二次函数的解析式及点，的坐标；（2）点是轴上的动点，求的最大值及对应的点的坐标；设是轴上的动点，若线段与函数的图像只有一个公共点，求的取值范围.【答案】（1），点坐标为，顶点的坐标为；（2）最大值是，的坐标为，的取值范围为或或.【解析】【分析】（1）先利用对称轴公式x=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；（2）根据三角形的三边关系：可知P、C、D三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD与x轴的交点坐标，就是此时点P的坐标；（3）先把函
6、数中的绝对值化去，可知，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t的取值；线段PQ与当函数y=a|x|2-2a|x|+c（x0）时有一个公共点时，求t的值；当线段PQ过点（-3，0），即点P与点（-3，0）重合时，线段PQ与当函数y=a|x|2-2a|x|+c（x0）时也有一个公共点，则当t-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t的取值【详解】解：（1），的对称轴为.人最大值为4，抛物线过点.得，解得.该二次函数的解析式为.点坐标为，顶点的坐
7、标为.（2），当三点在一条直线上时，取得最大值.连接并延长交轴于点，.的最大值是.易得直线的方程为.把代入，得.此时对应的点的坐标为.的解析式可化为设线段所在直线的方程为，将，的坐标代入，可得线段所在直线的方程为.（1）当线段过点，即点与点重合时，线段与函数的图像只有一个公共点，此时.当时，线段与函数的图像只有一个公共点.（2）当线段过点，即点与点重合时，线段与函数的图像只有一个公共点，此时.当线段过点，即点与点重合时，此时线段与函数的图像有两个公共点.所以当时，线段与函数的图像只有一个公共点.（3）将带入，并整理，得.令，解得.当时，线段与函数的图像只有一个公共点.综上所述，的取值范围为或或
8、.【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解3如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA点P是抛物线上的一个动点，过点P作PEx轴于点E，交直线BC于点D，连接PC（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P作PFBC于点F，试问PDF的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由 （3）
9、当点P在抛物线上运动时，将CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否成为菱形？如果能，请求出此时点P的坐标，如果不能，请说明理由【答案】(1) y=+x+3；(2) 有最大值,;(3) 存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（，）或（，）【解析】试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）设P（m，m2+m+3），PFD的周长为L，再利用待定系数法求直线BC的解析式为：y=x+3，表示PD=，证明PFDBOC，根据周长比等于对应边的比得：，代入得：L=（m2）2+，求L的最大值即可；（3）如图3，当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形
10、，根据翻折的性质知：CD=CQ，PQ=PD，PCQ=PCD，又知Q落在y轴上时，则CQPD，由四边相等：CD=DP=PQ=QC，得四边形CDPQ是菱形，表示P（n， +n+3），则D（n，n+3），G（0，n+3），利用勾股定理表示PD和CD的长并列式可得结论试题解析:（1）由OC=3OA，有C（0，3），将A（1，0），B（4，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c中，得：，解得：，故抛物线的解析式为：y=+x+3；（2）如图2，设P（m，m2+m+3），PFD的周长为L，直线BC经过B（4，0），C（0，3），设直线BC的解析式为：y=kx+b，则解得：直线BC的解析式为：y=x+3，
11、则D（m，），PD=，PEx轴，PEOC，BDE=BCO，BDE=PDF，PDF=BCO，PFD=BOC=90，PFDBOC，由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5，故BOC的周长=12，即L=（m2）2+，当m=2时，L最大=；（3）存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，如图3，当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ，PQ=PD，PCQ=PCD，当点Q落在y轴上时，CQPD，PCQ=CPD，PCD=CPD，CD=PD，CD=DP=PQ=QC，四边形CDPQ是菱形，过D作DGy轴于点G，设P（n， +n+3），则D（n，n+3），G（0，），在Rt
12、CGD中，CD2=CG2+GD2=（n+3）32+n2=，而|PD|=|（）（n+3）|=|+3n|，PD=CD，解方程得：n=或0（不符合条件，舍去），解方程得：n=或0（不符合条件，舍去），当n=时，P（，），如图3，当n=时，P（，），如图4，综上所述，存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（，）或（，）点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题4已知，点M为二次函数y（xb）2+4
13、b+1图象的顶点，直线ymx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B（1）判断顶点M是否在直线y4x+1上，并说明理由（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5（xb）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小【答案】（1）点M在直线y4x+1上；理由见解析；（2）x的取值范围是x0或x5；（3）当0b时，y1y2，当b时，y1y2，当b时，y1y2【解析】【分析】（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；（2）根据待定系数法，
14、可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案【详解】（1）点M为二次函数y（xb）2+4b+1图象的顶点，M的坐标是（b，4b+1），把xb代入y4x+1，得y4b+1，点M在直线y4x+1上；（2）如图1，直线ymx+5交y轴于点B，B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，5（0b）2+4b+15，解得b2，二次函数的解析是为y（x2）2+9，当y0时，（x2）2+90，解得x15，x21，A（5，0）由图象，得当mx+5（xb）2+4b+1时，x的取值范围是x0或x5；（3）如图2，直线y4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，A（5，0），B（0，5）得直线AB的解析式为yx+5，联立EF，AB得方程组，解得，点E（，），F（0，1）点M在AOB内，14b+1，0b当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，bb，
