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1、课时提升作业(五十七)一、选择题1.(2013南昌模拟)已知双曲线mx2-ny2=1(m0,n0)的离心率为2,则椭圆mx2+ny2=1的离心率为()(A)(B)(C)(D)2.双曲线-y2=1(n1)的左、右两个焦点为F1,F2,P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2,则PF1F2的面积为()(A)(B)1(C)2(D)43.(2013汉中模拟)设双曲线-=1(a0)的渐近线方程为3x2y=0,则a的值为()(A)4(B)3(C)2(D)14.已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为()(A)-=1(B)-=1
2、(C)-=1(D)-=15.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为()(A)(B)(C)(D)6.(2012新课标全国卷)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为()(A)(B)2(C)4(D)87.(2013抚州模拟)设F1,F2分别为双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为()(A)3x4y=0(B)3x5y=0(C)4x3y=0
3、(D)5x4y=08.(能力挑战题)设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,若点P在双曲线上,且=0,则|+|=()(A)(B)2(C)(D)2二、填空题9.(2013西安模拟)若椭圆+=1(ab0)的离心率为,则双曲线-=1的离心率为.10.(2012天津高考)已知双曲线C1:-=1(a0,b0)与双曲线C2:-=1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(,0),则a=,b=.11.(能力挑战题)过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A,B两点,设双曲线的左顶点为M,若点M在以AB为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率e的取值范围为.三、解答题12.(2013井冈山模拟)已知A
4、,B,P是双曲线-=1上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积kPAkPB=,求双曲线的离心率.13.(2013马鞍山模拟)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).(1)求双曲线的方程.(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:=0.(3)求F1MF2的面积.14.P(x0,y0)(x0a)是双曲线E:-=1(a0,b0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率.(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=+,求的值.答案解
5、析1.【解析】选B.由已知双曲线的离心率为2,得:=2,解得:m=3n,又m0,n0,mn,即,故由椭圆mx2+ny2=1得+=1.所求椭圆的离心率为:e=.【误区警示】本题极易造成误选而失分,根本原因是由于将椭圆mx2+ny2=1焦点所在位置弄错,从而把a求错造成.2.【解析】选B.不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2,又|PF1|+|PF2|=2,|PF1|=+,|PF2|=-,又c=,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,F1PF2=90,=|PF1|PF2|=1.3.【解析】选C.双曲线-=1的渐近线方程为3xay=0与已知方程比较系数得a=2.4.【解析】选
6、B.由题意可知解得所以双曲线的方程为-=1.5.【解析】选D.因为焦点在x轴上与焦点在y轴上的离心率一样,所以不妨设双曲线方程为-=1(a0,b0),则双曲线的渐近线的斜率k=,一个焦点坐标为F(c,0),一个虚轴的端点为B(0,b),所以kFB=-,又因为直线FB与双曲线的一条渐近线垂直,所以kkFB=(-)=-1(k=-显然不符合),即b2=ac,c2-a2=ac,所以,c2-a2-ac=0,即e2-e-1=0,解得e=(负值舍去).【变式备选】双曲线-=1(a0,b0)的离心率为2,则的最小值为()(A)(B)(C)2(D)1【解析】选A.因为双曲线的离心率为2,所以=2,即c=2a,c
7、2=4a2;又因为c2=a2+b2,所以a2+b2=4a2,即b=a,因此=a+2=,当且仅当a=,即a=时等号成立.故的最小值为.6.【解析】选C.不妨设点A的纵坐标大于零.设C:-=1(a0),抛物线y2=16x的准线为x=-4,联立得方程组解得:A(-4,),B(-4,-),|AB|=2=4,解得a=2,2a=4.C的实轴长为4.7.【解析】选C.设PF1的中点为M,因为|PF2|=|F1F2|,所以F2MPF1,因为|F2M|=2a,在直角三角形F1F2M中,|F1M|=2b,故|PF1|=4b,根据双曲线的定义得4b-2c=2a,即2b-c=a,因为c2=a2+b2,所以(2b-a)
8、2=a2+b2,即3b2-4ab=0,即3b=4a,故双曲线的渐近线方程是y=x,即4x3y=0.8. 【解析】选B.如图,由=0可得,又由向量加法的平行四边形法则可知PF1QF2为矩形,因为矩形的对角线相等,故有|+|=|=2c=2.9.【解析】由已知椭圆离心率为,所以有=,得()2=,而双曲线的离心率为=.答案:10.【解析】由题意可得解得:a=1,b=2.答案:1211.【思路点拨】设出双曲线方程,表示出点F,A,B的坐标,由点M在圆内部列不等式求解.【解析】设双曲线的方程为-=1(a0,b0),右焦点F坐标为F(c,0),令A(c,),B(c,-),所以以AB为直径的圆的方程为(x-c
9、)2+y2=.又点M(-a,0)在圆的内部,所以有(-a-c)2+0,即a+ca2+ac0(e=),解得:e2或e1,e2.答案:(2,+)12.【解析】设A(m,n),P(x0,y0),则B(-m,-n),A,B,P在双曲线上,-=1,(1)-=1,(2)(2)-(1)得:=,kPAkPB=e=.13.【解析】(1)e=,可设双曲线方程为x2-y2=(0).过点P(4,-),16-10=,即=6.双曲线方程为x2-y2=6.(2)方法一:由(1)可知,双曲线中a=b=,c=2,F1(-2,0),F2(2,0).=,=,=-.点M(3,m)在双曲线上,9-m2=6,m2=3.故=-1,MF1M
10、F2.=0.方法二:=(-3-2,-m),=(2-3,-m),=(3+2)(3-2)+m2=-3+m2.M(3,m)在双曲线上,9-m2=6,即m2-3=0.=0.(3)F1MF2的底|F1F2|=4,F1MF2的边F1F2上的高h=|m|=,=6.14.【思路点拨】(1)代入P点坐标,利用斜率之积为列方程求解.(2)联立方程,设出A,B,的坐标,代入=+求解.【解析】(1)由点P(x0,y0)(x0a)在双曲线-=1上,有-=1.由题意又有=,可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,则e=.(2)联立方程得得4x2-10cx+35b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则设=(x3,y3),=+,即又C为双曲线E上一点,即-5=5b2,有(x1+x2)2-5(y1+y2)2=5b2,化简得:2(-5)+(-5)+2(x1x2-5y1y2)=5b2,又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线E上,所以-5=5b2,-5=5b2.又x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,得:2+4=0,解出=0或=-4.
