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1、第一章 证明（二）1你能证明它们吗？一、 内容和内容解析1、 内容感受证明的必要性,了解检验数学结论的常用方法。2、 内容解析本节课是义务教育教科书数学九年级上册（北师大版）第一章第一节。学生在从小学到初中的三个学段中，认识图形的要求有着明显的层次性，从“辨认”到“初步认识”，再从“认识”到“探索并证明”。这种层次性既体现了从整体到局部的认识过程，也符合学生的认知特点，逐步深入，循序渐进。这节内容设置在九年级，已经是第三学段中期。在七年级时教材已经设置了基本平面图形、相交线与平行线和三角形的学习，学生通过观察、测量、实验、操作等活动探究得到了很多正确的结论，学生也尝试进行了一些验证和说理，基本
2、认可这些结论，但并没有进行严格的证明，因而容易给学生造成一些错觉，认为通过探究得到的结论都是正确的。本节课就是让学生认识到：通过观察、实验、归纳等活动得到的结论未必可靠，就是可靠的结论也需要进行严格的证明，初步感受证明的必要性，从而为后面学习演绎推理提供学习驱动，让学生不仅知道“学什么，怎么学”更知道“为什么要学”！根据以上对教材地位和作用的分析，结合课标对本节课的要求，我将本节课的重点确定为：初步感受证明的必要性，发展学生的逻辑推理的核心素养。本节课的核心问题是感受证明的必要性。二、目标和目标解析1、 目标（1）经历观察、验证、归纳等过程，使学生产生认知冲突，对由这些方法所得到的结论产生怀疑
3、，从而认识证明的必要性。 （2）了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举反例论证、推理论证等，并能运用这些方法来验证某些问题的结论正确与否，发展学生合情推理和演绎推理能力，逐步形成推理意识，即逻辑推理的核心素养。 （3）在积极参与数学活动的过程中，激发好奇心和求知欲；通过实验和探究活动，养成合作交流、反思质疑的学习习惯，形成修正错误、严谨求实的科学态度。2、目标解析目标（1）达成的标志是学生通过“观察图片”、“比较线段长短”的问题、“铁丝围地球”的问题、“费马数”的问题等，发现通过观察、猜测、归纳等活动得到的结论不一定都正确，从而认识到证明的必要性 目标（2）达成的标志是通过学生在经历多次错误
4、的观察、猜想判断后，不再随意猜测，而是通过测量、计算、推理、举反例等方法来有理有据地证明这些结论正确与否。逐步形成推理的意识，学会检验数学结论的方法：实验验证、推理论证或举反例论证。目标（3）达成的标志是学生对本节课产生学习的兴趣，能够小组合作交流，对老师或同学提出问题不会盲目地跟从，而是要有严谨求实的科学态度。三、 教学问题诊断分析在七年级时学生学习了很多与几何相关的知识，为今天的进一步的学习作好了知识储备，同时， 在以往的几何学习中，学生已经参与了对几何图形的观察、比较、动手操作、猜测、归纳等活动，积累了基本活动经验，对今天本节课的讨论、自主探究等活动有很大的帮助八年级的学生已经具有一定的
5、分析问题、解决问题的能力，在以往的学习中，学生也经历了很多验证结论合理性的过程，有了初步的逻辑推理思维，合情推理能力也得到了很大的提高，为今天系统的培养学生严谨的逻辑推理能力打下了良好的基础但是，“铁丝围地球”的问题中，将地球赤道长用一个字母C表示，从而地球半径、铁丝围成的圆的半径都可以用字母C表示，这对于八年级乃至于初中学生而言都很难想到，在此处可以将赤道的长具体化：例如用其近似值表示出来，这样可以降低难度；而对于学有余力的学生，老师也可以鼓励他们用字母来表示。在证明“三角形外角和等于360”时，学生可能还不能写出很规范的证明过程，此处只要学生有推理证明的意识，并能说清楚即可。本节课的教学难
6、点：探索“用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？”；会用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否。四、教学策略分析学生的直观能力是数学几何教学中要培养的一个方面，但如果学生仅有对图形的直观感受而不能进行推理、论证，有时是会产生错误的结论，本课时先由几幅容易让学生产生错觉的图片入手让学生的直观感受与实际结果之间产生思维上的碰撞，使学生对原有的直观感觉产生怀疑，从而感受对某一事物进行合理论证的必要性，发展学生推理意识的核心素养。在例题的选择上，由于中位线定理学生虽然容易猜想并测量出正确的结论，但是证明还是很困难的，无法体现通过
7、证明来验证结论的正确性，所以此处我将该例题更换成“探索并证明三角形的外角和为360”，学生既可以通过测量得到结论也可以通过证明来验证结论。对于书上“做一做”的（1）小题，由于学生没有接触过数学归纳法，也可能想不到用举反例的方法来推翻一个数学结论，所以此处我先介绍“费马和欧拉的”故事，一方面让学生了解数学史，知道数学家也会犯错，培养学生反思质疑、严谨求实的科学态度，另一方面给学生呈现可以用举反例的方法来证明一个结论是错误的，这样再让学生完成这个题就简单很多。五、 教学过程设计1、 创设情境、引入新课：感受“眼见未必为实”（1）师生活动：教师展示几幅容易让学生产生错觉的照片，引发学生学习的兴趣。
8、设计意图：引入的设计能瞬间吸引学生的眼球，既亲切又有趣，使学生对直观感觉产生怀疑，初步体会观察、实验、归纳所得的结论未必可靠，感受证明的必要性。能实现教学目标1。（2）展示第二组图片：问题1：图中a、b两条线段哪条长？ 师生活动：很多学生会凭视觉感受回答，有的学生会凭空猜想，答案多种多样。 追问1：你怎么证明你的猜想？ 师生活动：可以通过刻度尺测量、圆规截取等方法获得正确答案。 追问2：通过刚才的活动，你能谈谈对“耳听为虚，眼见为实”的理解吗？ 师生活动：学生通过上述活动发现：眼见未必为实，我们要通过测量、实验等来验证自己的结论。教师明晰：现实生活中，我们常用观察的方法来了解世界。数学学习中，
9、我们也用观察、实验、归纳的方法得出了很多结论，观察、实验、归纳的方法得到的结论不一定正确，所以我们要进行有理有据的证明。教师板书课题：“为什么要证明”。设计意图：学生的几何直观需要培养，但如果学生仅有大胆猜想而无小心验证，就不能保证结论的正确性， 再次感受证明的必要性。2、自主探索、敢于猜想：猜想并验证活动1问题1、如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一根头发丝吗？能放进一颗葡萄吗？能放进一个网球吗？ 师生活动： 在刚一提出这一问题时，大部分学生通常都会下意识地认为这个缝隙应该会很小，所以多数学生选择只能放进一
10、根头发丝，这为我们后面形成认知冲突埋下伏笔。之后教师展示一个圆环和一个球，引导学生建立数学模型并进行分析、讨论、思考，通过证明发现猜测与实际的巨大差异，产生认知冲突，再次感受证明的必要性。参考答案：设赤道周长为C，铁丝与地球赤道之间的间隙为 ： 它们的间隙不仅能放进一颗葡萄，而且也能放进一个网球设计意图：通过理性的计算，验证了很难想像到的结论，让学生产生思维上的碰撞，进而对自己的直观感觉产生怀疑，再次为证明的必要性提供素材但要注意的是要充分让学生发表自己的见解，首先让学生对自己的结论确信无疑，再进一步计算，结果与学生的感觉产生矛盾，切忌直接进行计算，把结论告诉学生，这样就达不到预想的要求，不能
11、让学生留下深刻的印象.在这个过程中可以体现学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。展现学生的逻辑推理、应用意识和创新意识的核心素养。完成了教学目标1和目标2，实现了教学重点的达成和教学难点的突破。追问1：如果把地球换成篮球或者乒乓球，其他条件不变呢？又能放进什么？师生活动：从上面的计算发现，只要铁丝周长比物体周长长1米时，其缝隙大小与物体周长无关，仍然是0.16m.追问2：通过这个问题，你有什么感受？师生活动：总结：对一个结论的正确与否一定不能靠猜测，要进行有理有据的证明。设计意图：本环节我用问题串的形式启发学生思考.本题设置的追问是对教材的提升，学生只要认真分析不难得到结论，发展了
12、学生分析问题和解决问题的能力，提升了学生的思维深度和广度。3、深化新知、巩固创新：猜想并验证活动2问题1、对于所有自然数代数式n2-n+11的值是质数吗？师生活动1：我们在发现一些数学结论的过程中常常会出现错误，其实数学家也会犯错，我们来听听这位数学家的故事：介绍费马数，了解数学史。从这个故事我们知道了：要证明一个结论是错误的，举反例一种常用的方法。设计意图：此处我调整了教材的顺序，先介绍“费马和欧拉的”故事，一方面让学生了解数学史，知道数学家也会犯错，培养学生反思质疑、严谨求实的科学态度，另一方面给学生呈现可以用举反例的方法来证明一个结论是错误的，这样再让学生完成探究问题1就简单很多。追问1
13、：现在“对于所有自然数代数式n2-n+11的值是质数”这一说法，你赞同吗？师生活动：学生分小组讨论，如果赞同给出证明过程，如果不赞同举出反例。很快学生就能发现：当n=12时，代数式的值为121，不是质数，这就是一个反例，所以上述结论是错误的。 问题2：如图ABC内角的一条边与另一边的反向延长线组成的角称为ABC的外角，1、 2、 3都是ABC的外角，请你猜一猜， 1、 2和 3的和是多少度？ 师生活动：学生猜想结论：1+2+3=360 追问1：你是怎么得到这个结论的？ 师生活动：学生畅所欲言，可以是测量得到结论，也可以是证明得到结论，但是老师引导学生认识到：测量会存在误差，我们仍然需要有理有据
14、的证明来得到结论。 参考答案：1+4=180，2+5=180，3+6=180， 1+4+2+5+3+6=3180 4+5+6=1801+2+3=3180-180=360追问2：改变三角形的形状，你们的结论还成立吗？ 师生活动：通过上题的证明发现，三个外角之和与三角形的形状无关，结果仍然是360. 设计意图：在例题的选择上，教材的例题是探索中位线定理。然而由于中位线定理的证明学生目前还无法完成，所以此处我将该例题更换成“探索三角形的外角和定理”，学生既可以通过测量得到结论也可以通过证明来验证结论。让学生第一次感受到通过严格的逻辑推理获得正确结论的成功感。通过以上两个例子（一个是代数的，一个是几何
15、的；一个是错误的，一个是正确的）引发学生对观察、归纳得到的结论的怀疑，进而发现要用严谨的逻辑推理来证明结论。本环节通过学生实践、自主探究交流，让每一个学生都参与其中，力求做到课标提出的“人人都能获得良好的数学教育”。在合作中学习，在实践中发现问题，在讨论中解决问题，培养学生分析问题、解决问题的能力和语言表达能力展现学生的应用意识和创新意识的核心素养。4、交流讨论、建立观念：议一议 问题1、你怎样判断一个结论是否正确？ 师生活动： 通过以上几个数学活动，使学生对每一个问题的结论的正确性有了怀疑，从而知道了由观察、猜想等渠道得到的结论不一定正确，还必须经过有理有据的证明才能对其进行肯定，也即：要判断一个数学结论是正确，仅观察、猜想、实验还不够，必须经过一步一步， 有根有据的推理 检验一个数学结论是否正确的常用方法：实验验证、举反例论证、推理论证. 设计意图：通过相互交流，让学生进一步对“通过实验、观察、归纳得到的结论不一定都正确”有一个更深刻、更全面的认识，从而认识到证明的必要性，再次帮助学生建立推理意识
