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1、第二章 群表示理论基础2.1 群表示【定义2.1】 （线性空间） 数域K（实数域R或复数域C）上的线性空间V是一个向量集合，；该集合定义了加法和数乘两种二元运算，且集合V在加法运算下构成交换群，满足：数乘运算KVV满足：【定义2.2】 （线性无关和维数）线性空间V中，任意n个向量，其线性组合当且仅当时成立，则称此n个向量线性无关，否则它们线性相关。线性空间中线性无关向量的最大个数m，称为空间V的维数，记为dimV = m。【定义2.3】 （基矢） 设V是n维线性空间，则V中任意一组n个线性无关的向量，称为空间V的基矢，记为。空间中任意矢量均可表示为n个基矢的线性组合，。矩阵形式：【定义2.4】
2、 （线性变换） 线性变换A是将V映入V的线性映射，满足：线性变换的矩阵形式：采用列矢量记法故有矩阵形式：若，则称线性变换A非奇异，A有逆变换A-1，A-1=A-1。【定义2.5】 （线性变换群）定义两个变换的乘法为两个线性变换的相继作用，则n维复线性空间V上的全部非奇异线性变换构成的集合在此乘法下构成一个群，称为n维复一般线性群，记为GL(V , C)，其子群L(V, C)称为V上的线性变换群。【定义2.6】 （群表示）设有群G，如果存在一个从G到n维线性空间V上的线性变换群L的同态映射A，则同态映射A称群G的一个线性表示，V为表示空间，n称为表示的维数。其中g0为G的单位元，E为L中的恒等变
3、换。系1 在表示空间V选一组基，线性变换群可化为矩阵形式，故群在表示空间V上的线性表示，亦可定义为G到矩阵群的同态映射A。系2 若群GG，则G的表示也是G的表示。系3 一个群G原则上可有无限多的表示。【定义2.7】 （忠实表示）如果群G到线性变换群L的映射A为同构映射，则该表示称为忠实表示。群表示理论研究抽象群的矩阵表示的结构、类型等规律。例2.1 任何群G恒与1同态，1是任何群G的表示，称为一维恒等表示。例2.2 三个简单的二阶变换群的表示。其矩阵形式即为它们的表示。取表示空间为R3，基矢：。 为对xy平面的反演。群本身是定义在R3空间上的线性变换，故其本身是自己的一个表示，选择一个具体基矢
4、可以将其矩阵化：故表示矩阵为： ，表示矩阵为： ，其表示为： 以上三个群均是R3上的变换群，故其本身就是他们的表示（忠实表示）。他们还可以有其他的表示。如空间反演群有表示，如： 它实际上是三个一维表示的合成：或者说一个二维恒等表示与一个一维非恒等表示的直和。，均是互相同构的二阶循环群，具有相同的群表示。他们两个最基本的表示为：, a分别为。例2.3 D3=群的表示。 D3有一维恒等表示，； D3与Z2同态： 故D3有非恒等一维表示： D3为R3的线性变换群，其矩阵形式本身即为它的一个表示。表示空间V 为R3，取基： 同理，可得表示矩阵 D3在x , y, z的二次齐次函数空间中的表示，空间的基
5、为：任何二次齐次函数可表示为以上基函数的线性组合。三维空间中的线性变换g对向量r的改变，同时将对定义在该空间中的标量函数作变换，即g对应一个标量函数变换算符，即。由容易发现，。可以验证变换群与算符做成的函数变换群同构。对于，有：故, 故在函数线性空间上的矩阵形式即为群的一个表示。 故可得Pd的表示矩阵：其他群元的表示矩阵可以同样得到。例2.4 设粒子的哈密顿量H的对称群为，以粒子某一能级的简并波函数为表示空间，求G的群表示。解：所有使哈密顿算符H(r)不变的变换形成哈密顿算符群G： ，与变换对应有标量函数变换算符。设H的本征值为En的，对应本征数为u为简并度指标，简并度为fn ，有：。这些简并
6、波函数的任意组合均是相同本征值下的本征函数。可以检验，也是H的本征函数：故En能级的所有简并波函数构成哈密顿算符群不变的线性空间。在简并本征函数空间中变换算符的矩阵形式即为哈密顿算符对称群的表示。记的表示矩阵为，具体形式由下式确定： 2.2 等价表示、不可约表示和酉表示一个群的表示原则上可以有无穷多个，它们可以分解或约化为有代表性的最基本表示的组合。【定义2.7】（等价表示）设群G在表示空间V取基下的表示为，在另一组基下的表示为，若，X为两组基之间的变换，有：，detX0 则称表示等价，或为A的等价表示。系1 两个用相似变换相联系的表示互相等价：或，(detP0), A和B等价。等价表示只是不
7、同基的选择而已，故重要的是寻找不等价的表示，这样就产生了寻找不等价表示的问题。【定义2.8】 （可约表示） 设A是群G在表示空间V上的一个表示，V如果存在G不变的非平庸子空间，是子空间W上的变换群。此时称A是G的一个可约表示。系1 设是子空间W的基，则取空间V的一组基：，使得。在此基下表示矩阵具有如下形式： m列 n-m列为mm矩阵，为m (n-m) 矩阵，为矩阵。子空间W中矢量的形式：（t表示转置，成列矩阵），X经过变换仍然在子空间中： 。系2 可以验证在变换下不具有封闭性：。系3 另外，仍然具有相同的结构，故、均构成新的群表示。系4 对于有限群，上述阶梯矩阵都可以通过相似变换化为对角分块形
8、式。【定义2.9】 (线性空间的直和)设线性空间V有子空间W1和W2， W1W2 =0。对任意，可找到，并唯一的将表示为：，则称线性空间V是子空间W1和W2的直和，记为。【定义2.10】 (完全可约表示)设群G的表示空间V可以分解为子空间W1和W2的直和，且W1和W2都是A(G)不变的(即A(G)是W1和W2上的变换群)，则称G在V上的表示为完全可约表示。系1 系2 总可以选一组基，使和分别为子空间W1和W2的基，在此基下表示矩阵具有如下形式： m列 (n-m)列系3 若表示A有一个等价表示具有对角形式，则A为完全可约表示。系4 对于有限群，可约表示的矩阵总可以化为分块对角形式，因而一定是完全
9、可约的。对于无限群，存在可约而不完全可约表示。这样的表示虽然存在群不变非平庸 子空间，但无论如何选择，其补空间都不是群不变的，这样的表示仍然称为可约表示，是不能完全约化的可约表示。如，一维平移群T： ， 它是无限阿贝尔群，存在不能完全约化的可约表示：。【定义2.11】 (不可约表示)设A为G群在表示空间V中的表示，若V不存在A(G)不变的真子空间，则称A是G的不可约表示。系1 G的不可约表示矩阵不具有对角或三角形式。系2 一般地，G的表示空间V总可以表示为不可进一步分解的G不变子空间的直和，而G在V上的表示可以写为G在这些不可分解的子空间上的不可约表示的直和：其中整数mp为不可约表示Ap在表示
10、Ap中出现的次数，称为重复度。系3 群的任何表示都可以写成其不等价不可约表示的直和，故寻找一个群的所有不等价不可约表示有重要意义。【定义 2.12】 （内积和内积空间）设V是数域C上的线性空间，将V中两个有序向量x，y映为复数域C上的一个数，满足：，有； （共轭），则称为的内积，而定义了内积的线性空间称为内积空间。内积空间中向量的长度或模：；向量垂直若；系1 证：系2 任何内积空间总存在正交归一基，。证：设是V的一个基，用施米特正交化方法可以构造正交归一基。作 有又作 有：，一般地，可令 ，可得正交归一基：（）。【定义2.13】 （幺正变换）设U是内积空间V上的线性变换，若对任意 U保持x和y
11、的内积不变，即：，则称U为V上的幺正变换。系1 幺正变换将正交归一基变为另一组正交归一基：。系2 记U+为幺正变换U的共轭变换，则其逆变换U-1=U+，U+U=E为恒等变换。证：内积空间上的线性变换A的共轭变换为A+，有： 故有，由于x，y任意，故有U+U=E，U-1=U+。系3 在正交归一基下，线性变换U的共轭变换U+的矩阵即酉矩阵有：U+=为U的转置共轭U*t (即)。（对于幺正变换有：）【定义2.14】 （群的酉表示）群G到内积空间V中的幺正变换群A上的同态映射，称为群G的酉表示。系1 群G到幺正矩阵群的同态，也是群G的酉表示。 定理2.1 设V是内积空间，W是V的子空间，定义，为V中所
12、有与W中矢量垂直的向量的集合，则有称为W的正交补空间。证明：设W的一个正交归一基为 ，可证与W中的任意矢量垂直：因 ，对成立，故，从而；又若即则有：. 定理2.2 若群G的酉表示A是可约的，则A是完全可约的。证明：设表示空间为V，G的表示A可约，则V有G不变的子空间W。由定理2.1有：为W的正交补空间；对；而W是G不变的，故故：即或故也是G不变的子空间。因此A是完全可约的。适当选择正交归一基A具有如下形式：。系1. 若W，中仍然有G不变的子空间，则上述分解可以继续进行下去，A最终可表示为：。其中整数为不可约酉表示表示中的重复度。定理2.3 有限群的每一个表示都有等价的酉表示。证明： 设，为群G
13、的表示若能找到相似变换X，对有，使为酉矩阵即 则定理得证。（ + 表示矩阵的转置共轭）构造如下矩阵 : 为显然为厄密矩阵：W+ = W，并且有如下性质： = = = 可以检验如上的厄密矩阵可以表示为 ，X为非奇异矩阵：首先厄密矩阵总可以找到酉矩阵U使之完全对角化为，其对角元为实数，即：，并且可以发现为正定矩阵：故正定对角矩阵可以表示为形式，其中D也是正定对角矩阵。由可得：，。可以验证，X即为所寻找的使表示A化为酉表示的相似变换：令 则=故 为酉表示。 得证。2.3 群代数和群代数正则表示【定义2.15】 （代数或线性代数）在数域K上的线性空间D中，若定义了乘法，满足：（封闭性）（加法分配律）乘
14、法和数乘满足：则称D为代数或线性代数。若还满足结合率：则D称为结合代数。例2.5 全都复矩阵集合，在矩阵乘法下构成结合代数。【定义2.16】 （群空间）设群，以G的群元为基作复数域C上的线性空间VG，即：，满足： ，其中， ，称VG为群空间。【定义2.17】 （群代数）按照群G中群元的乘法，可以定义群空间VG中矢量的乘法：，定义(上述过程应用了矢量在上的分量等于在上的分量，故VG构成代数，可以验证VG满足结合律，故VG构成结合代数，记为DG，代数的维数等于群G的阶。【定义2.18】 （群代数空间中的正则表示）取群G的群代数空间DG为群G的表示空间，定义G到DG上的线性变换的映射为线性变换定义为：，令故映
