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1、高等代数课程教学大纲课程编号：090085、090022总 学 时：162 学 分：8适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学课程类型：专业必修课 开课单位： 一、课程的性质、目的与任务通过本课程的教学，使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有较深刻的认识, 提高他们的抽象思维、逻辑推理和运算的能力；使学生初步地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，进而加深对中学代数的理解；使学生能应用代数思想和方法去理解与处理有关的问题, 培养与提高代数的理论分析问题与解决问题的能力；使学生学习数学学科后续课程（如近世代数、离散数学、计算方法、偏微分方程、泛函分析等）提供一些所需要的基础理论和
2、知识；使学生在智能开发、创新能力培养等方面获得重要的平台。高等代数是数学与应用数学、信息与计算科学本科专业最重要的基础课程之一,是数学各专业报考研究生的必考课程之一，也是理论性、应用性很强的一门数学基础课。讲授本课程的目的主要在于培养学生的代数基础理论和思想素质，基本掌握代数中的论证方法, 获得较熟练的演算技能和初步应用的技巧, 提高分析问题、解决问题的能力,为进一步学习其它数学知识打下坚实的基础。本课程的主要任务是通过教学的主要环节（课堂讲授与讨论、习题课、作业、辅导答疑等），使学生学习和掌握多项式理论、线性代数的代数理论（行列式、线性方程组、矩阵、二次型、矩阵）及线性代数的几何理论（线性空
3、间、线性变换、欧氏空间）。二、课程教学内容和基础要求（1）理解多项式的定义，掌握最大公因式，互素，不可约多项式, 因式分解等有关的一系列性质。（2）理解行列式的定义, 掌握行列式的基本运算性质和行列式的行(列)展开性质；理解向量组的线性相关性，掌握线性方程组的通解求法；理解矩阵的概念和运算，掌握矩阵的可逆、矩阵的分块、矩阵的等价关系的性质及应用；理解二次型的定义，掌握二次型的标准形的求法及正定二次型的一系列性质。（3）理解线性空间的定义，掌握交空间、和空间及直和的判定及性质；理解线性变换的定义及简单性质,掌握线性变换在不同基下的矩阵的性质、线性变换的值域与核的应用问题；会求矩阵的若当标准形；理
4、解欧氏空间及对称变换的定义,掌握对称变换与实对称矩阵之间的关系的有关性质。第一部分 多项式理论第一章 多项式教学目的与要求：1. 1 掌握数域的定义, 并会判断一个代数系统是否是数域。1. 2 正确理解数域P上一元多项式的定义, 多项式相乘, 次数, 一元多项式环等概念。掌握多项式的运算及运算规律。1. 3 正确理解整除的定义, 熟练掌握带余除法及整除的性质。1. 4 正确理解和掌握两个(或若干个)多项式的最大公因式, 互素等概念及性质。能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。1. 5 正确理解和掌握不可约多项式的定义及性质。深刻理解并掌握因式分解及唯一性定理。掌握多项式的标准分解式。1. 6
5、 正确理解和掌握k重因式的定义。1. 7 掌握多项式函数的概念, 余数定理, 多项式的根及性质。正确理解多项式与多项式函数的关系。1. 8 理解代数基本定理。熟练掌握复（实）系数多项式分解定理及标准分解。1. 9 深刻理解有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系。掌握本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein判别法。1. 10 理解多元多项式、对称多项式的定义，掌握对称多项式基本定理。重 点：整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、k重因式与k重根的关系、复（实）系数多项式分解定理、本原多
6、项式、Eisenstein判别法。难 点：因式分解定理的应用。教 学 内 容：1. 1 数域 1. 7 多项式函数1. 2 一元多项式 1. 8 复系数与实系数多项式的因式分解1. 3 整除的概念 1. 9 有理系数多项式1. 4 最大公因式 1. 10 多元多项式1. 5 因式分解定理 1. 11 对称多项式 1. 6 重因式 第二部分 线性代数的代数理论第二章 行列式教学目的与要求：2.1 理解并掌握排列、逆序、逆序数、奇偶排列的定义。掌握排列的奇偶性与对换的关系。2.2 深刻理解和掌握n级行列式的定义, 能用定义计算一些特殊行列式。2.3 熟练掌握行列式的基本性质。2.4 正确理解矩阵、
7、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行列式性质计算一些简单行列式。 2.5 正确理解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌握行列式按一行（列）展开的公式。掌握“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计算行列式的技巧。2.6 熟练掌握克莱姆(Cramer)法则。2.7 正确理解和掌握行列式的一个k级子式的余子式等概念、熟练掌握拉普拉斯(Laplace)定理。理解行列式的乘法规则。重 点：n级行列式的定义、行列式的基本性质、矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换、行列式按一行（列）展开的公式、克莱姆(Cramer)法则、拉普拉斯(Laplace)定理。难 点：行列式按一行（列）展开性质、
8、拉普拉斯(Laplace)定理。教 学 内 容：2.1 引言 2.5 行列式的计算2.2 排列 2.6 行列式按一行（列）展开2.3 n 级行列式 2.7 克兰姆法则2.4 n 级行列式的性质 2.8 拉普拉斯定理行列式的乘法规则第三章 线性方程组教学目的与要求：3.1 正确理解和掌握一般线性方程组, 方程组的解, 增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求解线性方程组的一般解。3.2 理解和掌握n维向量及两个n维向量相等的定义。熟练掌握向量的运算。深刻理解n维向量空间的概念。3.3 正确理解和掌握线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。掌握两个向量组等价
9、的定义及等价性质定理。深刻理解向量组的极大无关组、秩的定义，会求解向量组的一个极大无关组。3.4 深刻理解和掌握矩阵的行秩、列秩、秩的定义。掌握矩阵的秩与其子式的关系。3.5 熟练掌握线性方程组的有解判别定理。理解和掌握线性方程组的公式解。3.6 正确理解和掌握齐次线性方程组的基础解系, 解空间的维数与概念。熟练掌握基础解系的求法、线性方程组的结构定理。会求一般线性方程组有解时的全部解。重 点：线性方程组的初等变换、求线性方程组的一般解、n维向量、线性组合、线性相关、线性无关、两个向量组等价、极大无关组、向量组的秩、求向量组的一个极大无关组、矩阵的秩、线性方程组的有解判别定理、线性方程组的公式
10、解、齐次线性方程组的基础解系、基础解系的求法、线性方程组的结构定理、求一般线性方程组有解时的全部解。难 点：两个向量组等价、极大无关组、向量组的秩、求向量组的一个极大无关组、基础解系的求法、线性方程组解的结构。教 学 内 容：3.1 消元法 3.4 矩阵的秩3.2 n 维向量组 3.5 线性方程组有解判别定理3.3 线性相关性 3.6 线性方程组解的结构第四章 矩阵教学目的与要求：4.1 了解矩阵概念产生的背景。4.2 掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算规律及其计算。4.3 掌握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。4.4 正确理解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，
11、掌握一个n阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。4.5 理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。4.6 正确理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系，熟练掌握一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件；会用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵。4.7 理解分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，会求分块矩阵的逆。重 点：矩阵的运算、矩阵乘积的行列式定理、矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系、可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵、n阶方阵可逆的充要条件、用公式法求逆矩阵、分块矩阵的意义及运算、初等矩阵、用初等变换的方法求逆矩阵、分块矩阵的逆。难 点：分块矩阵的意义及运算、初
12、等矩阵、用初等变换的方法求逆矩阵、分块矩阵的逆。教 学 内 容：4.1 矩阵概念的一些背景 4.5 矩阵的分块4.2 矩阵的运算 4.6 初等矩阵4.3 矩阵乘积的行列式与秩 4.7 分块矩阵的初等变换及应用举例4.4 矩阵的逆第五章 二次型教学目的与要求：5.1 正确理解二次形和非退化线性替换的概念；掌握二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的一一对应关系；掌握矩阵的合同概念及性质。5.2 理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准形的方法（主要是配方法、初等变换法）。5.3 正确理解复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性；掌握惯性定理。5.4 正确理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概
13、念；熟练掌握正定二次型及半正定二次型的等价条件。重 点：非退化线性替换、二次型的矩阵、二次型与其矩阵的一一对应关系、矩阵的合同、化二次型为标准形、复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理、正定二次型的判别条件、半正定二次型的等价条件。难 点：复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理、正定二次型的判别条件。教 学 内 容：5.1 二次型的矩阵表示 5.3 唯一性5.2 标准形 5.4 正定二次型第三部分 线性代数的几何理论第六章 线性空间教学目的与要求：6.1 掌握映射、单射、满射（映上的映射）、一一映射、逆映射等概念。6.2 正确理解和掌握线性空间的定义及性质；会判断一个代数系
14、统是否是线性空间。6.3 理解线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念；正确理解和掌握n维线性空间的概念及性质。6.4 正确理解和掌握基变换与坐标变换的关系。6.5 正确理解线性子空间的定义及判别定理；掌握向量组生成子空间的定义及等价条件。6.6 掌握子空间的交与和的定义及性质；熟练掌握维数公式。6.7 深刻理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。6.8 理解和掌握线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件重 点：线性空间、判断一个代数系统是否是线性空间、n维线性空间的概念及性质、基变换与坐标变换的关系、线性子空间的定义及判别定理、向量组生成子空间的定义及等价条件、子空间的交与和、维数公式、子空间的直和、线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。难 点：线性空间的定义, 子空间的直和、线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。教 学 内 容：6.1 集合映射 6.5 线性子空间6.2 线性空间的定义与简单性质
