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1、3 半连续格及相容连续偏序集研究符号说明符号 在本文中的含义 页码a a的上集.7a a的下集. .7Dcpo 定向完备偏序集. .7max (P) 偏序集P中的极大点集.7D 定向集D的上确界.7Id(P) 偏序集P中的全体理想.7s(P) 偏序集P上的Scott拓扑.8s*(P) 偏序集P的全体Scott闭集.8l(P) 偏序集P上的Lawson拓扑.8w(P) 偏序集P上的下拓扑.8G(X) 拓扑空间X的所有闭子集.9xy x双小于y或x逼近于y.9x 双小于x的元的集合.9K(P) 偏序集P的紧元集.9Rd(L) 格L中的半素理想集.10xy x半双小于y.10bx 半双小于x的元的集
2、合.10s(L) 格L上的半Scott拓扑.11s(L) 完备格L上的半Lawson拓扑.11xwy x弱双小于y.21wx 弱双小于x的元的集合.21第一章 引言连续格理论及更广的Domain理论来源于两种完全不同的背景1971年, 著名逻辑学家D.Scott因理论计算机的语义问题提出了连续格的概念1在纯数学的研究方面, 七十年代中期, JDLawson, KHHoffman等人在关于紧半格的结构理论研究中, 也发现了连续格和代数格的结构这样, 两种完全不同的背景导致了同一对象的发现, 刺激了该领域的研究后来, 人们推广了连续格的概念, 将其中最关键的way below关系移植到偏序集上得到
3、了连续偏序集的概念 (参见文献2-6).1979年, Lawson给出了连续偏序集的谱理论, 指出任意连续偏序集上的Scott拓扑都是完全分配格2, 从而将连续偏序集、连续格及完全分配格的研究有机地结合起来理论计算机中广泛研究的各种domain则是特殊的连续偏序集, 它们一般具有良好的局部性质, 如主理想是连续格或代数格等从上世纪八十年代开始, 连续domain即连续dcpo逐渐成为domain理论的主要研究对象. 作为这种趋势的一个标志，1994年S.Abramsky和A.Jung在文7中以连续domain为主要对象系统地阐述了经典domain的数学理论.2003年出版的由GGierz等六位
4、作者合著的文献8更是domain理论研究的著名专著随着连续domain在计算机科学和经典数学领域逐渐得到应用，人们对连续domain的研究也不断深入, 目前已经取得了许多深刻而且影响深远的结果(见文献9-15) . 其中, 文10-14研究了完备格(偏序集)理论中的重要概念基和局部基, 并且利用它们成功地刻画了完备格(偏序集)的连续性; 文15给出了dcpo的子dcpo、子空间等概念, 并研究了连续domain的遗传性及不变性.在domain理论中, 拓扑、序、逼近（计算）及逻辑的概念和思想可以互相转化，其中拓扑是非常重要的研究工具, 因而domain理论也吸引了众多格上拓扑学方面的学者的参与
5、.拓扑学是研究几何图形连续性质即在连续变形下保持不变性质的一门学科, 它的起源可以追溯到18世纪欧拉对著名的哥尼斯堡七桥问题的研究. 1847年，高斯的学生 J. B. Listing发表了拓扑学初步，首先引用了拓扑学这一术语. 1852年，F.Guthrie提出的关于四色问题的猜想，对拓扑学的发展起到了进一步的推动作用. 1851年，黎曼在论文几何基础假设中引进了流行的概念，成功解决了可定向闭曲面上的同胚分类问题. 此后，有关拓扑学方面的研究成果逐渐出现. 拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑, 另一个分支是偏重于用分析的方法来
6、研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学目前, 点集拓扑学的方法和结果渗透到几乎所有数学分支中，文献16-18等都是点集拓扑学方面的重要文献. 上世纪五十年代末, CEhresmann提出了一种新的观点, 他认为具有某种分配性的格(如完备Heyting代数, 直觉逻辑学者也称之为完备Brouwer格)本身就可作为一种广义拓扑来研究, 而不论其是否可以表示为某一拓扑空间的开集格. 后来的研究表明这种融拓扑结构与序结构于一体的探讨是有特色的, 因其研究方法一般不涉及点的概念, 从而形成了无点化拓扑理论, 也称Locale理论或Frame理论. P.T.Johnstone的专著19和郑崇友等的专著
7、20是这一领域研究工作的总结.连续格理论以及更广的连续偏序集理论集序结构、代数结构、拓扑结构的研究于一体, 取得了丰硕的成果, 并对计算机应用产生了重要影响. 但是, 狭义的Domain理论必须建立在定向完备偏序集的基础上, 因此正如徐罗山教授在文献21中指出的：最基本且结构最丰富的实数集R , 自然数集N 不能作为连续偏序集, 更谈不上连续格. 这在很大程度上限制了连续偏序集理论的实用范围. 所以近年来许多作者试图从不同的角度推广连续格理论这方面工作可参见文献21-36为了推广连续格, Y. Ray首先提出格中半素理想的概念, 并研究了它的一些基本性质24 . D.Zhao利用半素理想, 给
8、出了一种新的关系, 并由此定义了一种新的格半连续格, 且把连续格中的一些性质移植到了半连续格中15 . 目前关于半连续格的研究已经出现较多研究成果(见文献26-30), 其中文26在完备格上引入半Scott拓扑和半Lawson拓扑, 并讨论了半连续格上的半Scott拓扑和半Lawson拓扑的一些基本性质; 文27利用半Scott拓扑给出了半连续格的等价刻画, 并研究了半连续格上的半连续映射; 文28-30将众多连续格的性质移植推广到半连续格上, 逐步扩充了半连续格理论.在上述研究基础之上, 本文将更为深入地研究半连续格我们的研究表明半连续格中若干半素理想的定向并仍为半素理想；半连续格中任一主理
9、想都是半Scott闭集, 且若半连续格中的子集可以表示成某一主理想的补集形式, 则该子集为半Scott拓扑的素元 我们还要在完备格中引入半基和局部半基的概念, 研究其基本性质并给出若干等价刻画, 利用半基和局部半基给出半连续格的刻画 此外, 本文还定义了半连续格的权和特征, 探讨了半连续格的权和特征与其上赋予内蕴拓扑时的拓扑空间的权和特征的关系，并回答了赵彬教授等在这方面提出的一个公开问题相容连续偏序集是连续domain概念的微小推广, 它是由徐罗山教授针对R,N不能作为Domain看待这样一种情况, 结合R, N 的序结构特点引入的 21于是得到不仅R是相容连续偏序集, N是相容代数偏序集,
10、 而且任一相容连续偏序集都紧密联系一个连续偏序集, 即它的定向完备化, 从而有许多良好的性质. 从范畴方面看, 相容连续偏序集范畴还以连续偏序集范畴作为满的反射子范畴.本文针对相容连续偏序集及其定向完备化将展开更深入的研究我们得到的主要结论是：(1)对连续domain P上极大点集max(P)的某真子集A, 有PA是相容连续偏序集；(2)当连续domain P上极大点集max(P)的某子集A的Scott内部是空集时, PA的定向完备化同构于P作为对连续偏序集概念的推广, Mashburn还引入了exact偏序集的概念31, 并讨论了一些基本性质. 文32主要讨论了exact偏序集的乘积和映射性质, 引入了exact偏序集的基的概念, 并研究了exact偏序集的基的性质. 本文也将进一步研究exact偏序集的相关性质,证明每个连续偏序集都是exact偏序集, 每个exact domain对于Scott开集是可遗传的；讨论弱 doma
