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1、第七章 线性变换一.线性变换的定义和运算1.线性变换的定义（1）定义：设V是数域p上的线性空间，A是V上的一个变换，如果对任意，V和kP都有A（）=A（）+A（），A（k）=kA（）则称A为V的一个线性变换。（2）恒等变换（单位变换）和零变换的定义：（）=，（）=0，任意V.它们都是V的线性变换。（3）A是线性变换的充要条件：A（k+l）=kA()+lA(),任意，V，k，lP.2.线性变换的性质 设V是数域P上的线性空间，A是V的线性变换，则有（1） A（0）=0；（2） A（-）=-A（），任意V；（3） A（kii）=kiA（），V，kiP，i=1,s;（4） 若1，2，,sV,且线性相
2、关，则A（1），A（2），,A(s)也线性相关，但当1，2，, s线性无关时，不能推出A（1），A（2），,A(s)线性无关。3.线性变换的运算运算公式定义线性变换性质乘积(AB)( )=A(B() (V)是(AB)(+)=(AB)( )+(AB)( ); (AB)(k )=k(AB)( ),这说明AB是线性的.有结合律: A=A=A,一般无交换律，消去律。和（加法）（A+B）（）=A()+B() (V)是(A+B)（+）=（A+B）（）+（A+B）（）； （A+B）（k）=k（A+B）（）;这是A+B是线性变换。a.有结合律和交换律，A+(B+)=（A+B）+，A+B=B+A；b.零变换：A
3、+=A；c.负变换也是线性的：（-A）（）=-A（） d.线性变换的乘法对加法有左右分配律：A(B+)=AB+A，（B+）A=BA+A；数量乘法kA=KA即(kA)()= K(A()= KA()是它有结合律和两种分配律逆变换A-1=B，AB=BA=是线性变换A是可逆的，那么它的逆变换A-1也是线性变换。A-1（+）=A-1（）+A-1()，A-1()=kA-1()幂AAA=An,A0=EA（m+n）=Am+An,(Am)n=Amn,A-n=(A-1)n;值得注意的是（AB）n不等于AnBn多项式f（A）=amAm+a0+是如果在Px中有h(x)=f(x)+g(x),p(x)=f(x)+g(x)
4、，那么h(A)=f(A)+g(A),p(A)=f(A)+g(A)，特别地，f(A)g(A)=g(A)f(A)，即同一个线性变换的多项式的乘法是可变换的。总结：线性空间上V的全体线性变换，也构成P上一个线性空间。4.线性变换与基的关系（1）设1，2，,n是线性空间v的一组基，如果线性变换A和B在这组基上的作用相同，即Ai=Bi，i=1,2，,n,则有A=B.（2）设1，2，,n是线性空间v的一组基，对于V中任意一组向量1，2，,n,存在唯一一个线性变换A使Ai=i,i=1,2，,n.二线性变换的矩阵1.定义：设1，2，,n是数域P上n维线性空间v的一组基，A是V中的一个线性变换，基向量的像可以被
5、基线性表出 A1=a111+a212+an1n A2=a121+a222+an2n An= a1n1+a2n2+annn用矩阵表示就是A（1，2，, n）=（1，2，, n）A,其中 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2nA= a n1 a n2 a nn称为A在基1，2，,n下的矩阵。2.线性变换与其矩阵的关系（1）线性变换的和对应于矩阵的和；（2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；（3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；（4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵。3. 与A()在同一组基下的坐标之间的关系设A在基1，2，,n下的矩阵为A，对任意V，设在
6、基1，2，,n下的坐标为（x1,x2,xn）,即=（1，2，, n）x1 ，则A（）=A （1，2，, n X1 )= A(1, 2, n) x1 = (1, 2, n)A x1 .即A（）在基1, , Xn xn Xn xnn下的坐标是A（）=A x1 4.同一线性变换在不同基下的矩阵之间的关系设1，2，, n和1，2，, n是V的两组基，且1，2，, n到1，2，, n的过渡矩阵为T，即（1，2，, n）=（1，2，, n）T，T是n级可逆矩阵，若A在基1，2，, n下的矩阵为A，则A在基1，2，, n下的矩阵为T1 AT，它和 A在基1，2，, n下的矩阵A是相似的，即同一个线性变换在不
7、同基下的矩阵相似。三特征值和特征向量1特征值与特征向量的定义设A是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P中一数0，存在一个非零向量，使得A=0,那么0 称为A的一个特征值，而称为A的属于特征值0 的一特征向量。2特征矩阵和特征多项式的定义设A是数域P上一n级矩阵，是一个文字，矩阵E-A的行列式|E-A|= -a11 -a12 -a1n 称为A的特征多项式，这是数域P上的一个n次多项式。 -a21 -a22 -a2n -an1 -an2 -ann 3.求线性变换A的特征值和特征向量的步骤（1）在线性空间V中取一组基1，2，, n,写出A在这组基下的矩阵A；（2）求出A的特征多项式|E-
8、A|在数域P中的全部根，即为A （或者A）的全部特征值；（3）对于每个特征值，求解齐次线性方程组（E-A）X=0，求得的非零解，即为对应于的特征向量。4.相关性质列举（1）线性变换A（或n级方阵A）的属于不同特征值的特征向量线性无关。（2）设0 是n级方阵A的特征值，则 a.任意kN，0k 是Ak 的特征值； b任意lP，l0 是lA的特征值； c设f（x）是多项式，则f（0 ）是f（A）的特征值； d若A可逆，则00，且1/0 是A-1 的特征值。（3）若0 是线性变换A（或n级方阵A）的特征值。属于0 的所有特征向量再添加零向量构成V（或Pn ）的子空间，称这个子空间为A（或A）的关于特征
9、值0 的特征子空间，记作V0 ，而维（V0）为（0 E-A）X=0的解空间的维数。（4）若1，2，,s是线性变换A（或n级方阵A）的全部互异的特征值，则和V1+Vs是直和。若维（V1）+维（Vs）=n，则V= V1 +Vs ,且V1，Vs的基的联合是V的一组基，在此基下，A的矩阵是准对角型。（5）APnn ,设1，, s(可能有相同的)为A的全部特征根，则1+2+n=(a11 +ann )称为A的迹。四矩阵的相似和相似对角化（1）矩阵相似的定义设A.B 为数域P上两个n级矩阵，如果存在可逆矩阵P，使P-1 AP=B，则称 A和B相似，记为AB。（2）矩阵相似的性质a.矩阵的相似是一种等价关系，
10、即满足反身性、对称性和传递性；b线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。（3）n级方阵A相似对角化的判别设P为数域，）APnn ,设1，, s为A的所有互异的特征值，则下列条件等价：a. A与数域P上的对角矩阵相似；b. 在P中，A有n个线性无关的特征向量；c. （i 的重数）=n，且Vi的维数=i的重数，i=1,2，,s;d. dim（Vi）=n；e. A的最后一个不变因子无重根；f. A的初等因子是一次的。五线性变换的值域与核1.定义：设A是线性空间V的一个线性变换，A的全体像组成的集合称为A的值域，用A V表
11、示；所有被A变成零向量的向量组成的集合称为A的核，用A-1 （0）表示。线性变换的值域和核都是V的子空间。2.值域和核的性质（1）设A是n维线性空间V的一个线性变换，1，2，, n是V的一组基，在这组基下的矩阵是A，则有a. A V=L(A1，A2，, A n);b. A 的秩等于A的秩。(2) 设A是线性空间V的一个线性变换,则A V的一组基的原像及A-1 （0）的一组基起来就是V的一组基，并且有A的秩+A的零度=n。（3）值域和核都是V的不变子空间。（4）若V是有限维线性空间，则A是单射A-1 （0）=0A V=VA是满射。（5）A 的秩等于A的值域A V的维数，A的零度等于A-1 （0）
12、的维数。六不变子空间1、不变子空间的定义为了解决不变子空间的问题，我们需要不变子空间的概念.先看一个例子.在中，设是数量变换，即有一个确定的数k，使得对任意，设W是中过原点的一个平面，W是的一个子空间，对W中每一个向量，在作用之下的像仍是W中的向量，这样的子空间W就是的不变子空间. 定义1 设是F上向量空间V的一个线性变换，W是V的一个子空间，若W中向量在下的像仍在W中，即对于W中任一向量，都有，则称W是的一个不变子空间，或称W在之下不变.例1 向量空间V本身和零子空间是V的任一个线性变换的不变子空间，称它们为V的平凡不变子空间，其它不变子空间称为非平凡不变子空间.例2 向量空间V的任一子空间
13、都是数量变换的不变子空间.例3 在Rx中，令，对任意是Rx的子空间，并且是的不变子空间.例4 设是中以过原点的一条直线L为轴,旋转角的变换,则L是的一维不变子空间;过原点且与L垂直的平面H是的一个二维不变子空间.2、不变子空间的判断下面给出一种判断不变子空间的方法定理7.4.1 设是n维向量空间V的一个线性变换，W是V的子空间，是W的基.则W是的不变子空间的充要条件是在W中. 设W是向量空间V的关于线性变换的不变子空间，那么对于任意的，必有，因此也可看作是向量空间W的一个线性变换，用表示，即对于任意，若，那么就没有意义. 叫做在W上的限制. 4、不变子空间与线性变换的矩阵的关系设是n维向量空间V的一个线性变换，W是的一个非平凡不变子空间.在W中取一个基，把它扩充成V的一个基，由于，故可设因此，关于这个基的矩阵为这里是关于W的基的矩阵.4.不变子空间与空间分解（1）如果V可以分解成两个非平凡不变子空间与的直和那么选取的一个基和的一个基，
