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1、空间向量与立体几何【知识要点】1空间向量及其运算：(1)空间向量的线性运算：空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立空间向量的线性运算的运算律：加法交换律：abba；加法结合律：(abc)a(bc)；分配律：(l m )al am a；l (ab)l al b(2)空间向量的基本定理：共线(平行)向量定理：对空间两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数l ，使得al b共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在惟一一对实数l ，m ，使得cl am b空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c
2、不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组l 1，l 2，l 3，使得pl 1al 2bl 3c(3)空间向量的数量积运算：空间向量的数量积的定义：ab|a|bcosa，b；空间向量的数量积的性质：ae|acosa，e；abab0；|a|2aa；|ab|a|b空间向量的数量积的运算律：(l a)bl (ab)；交换律：abba；分配律：(ab)cacbc(4)空间向量运算的坐标表示：空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底i，j，k，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a，存在惟
3、一数组(a1，a2，a3)，使aa1ia2ja3k，那么有序数组(a1，a2，a3)就叫做空间向量a的坐标，即a(a1，a2，a3)空间向量线性运算及数量积的坐标表示：设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(a1b1，a2b2，a3b3)；ab(a1b1，a2b2，a3b3)；l a(l a1，l a2，l a3)；aba1b1a2b2a3b3空间向量平行和垂直的条件：ab(b0)al ba1l b1，a2l b2，a3l b3(l R)；abab0a1b1a2b2a3b30向量的夹角与向量长度的坐标计算公式：设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则在空间直角坐标
4、系中，点A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，则A，B两点间的距离是2空间向量在立体几何中的应用：(1)直线的方向向量与平面的法向量：如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得，其中向量a叫做直线的方向向量由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定如果直线l平面a ，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面a 的法向量由此可知，给定一点A及一个向量a，那么经过点A以向量a为法向量的平面惟一确定(2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线l，m的方向向量分别是a，b，平面a ，b 的法向量分别是
5、u，v，则lmabakb，kR；lmabab0；la auau0；la auaku，kR；a uvukv，kR；a b uvuv0(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：异面直线所成的角：设a，b是两条异面直线，过空间任意一点O作直线aa，bb，则a与b所夹的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角设异面直线a与b的方向向量分别是v1，v2，a与b的夹角为q ，显然则直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角设直线a的方向向量是u，平面a 的法向量是v，直线a与平面a 的夹角为q ，显然，则二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角记
6、作a lb 在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作射线OAl，OBl，则AOB叫做二面角a lb 的平面角利用向量求二面角的平面角有两种方法：方法一：如图，若AB，CD分别是二面角a lb 的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角a lb 的大小就是向量的夹角的大小方法二：如图，m1，m2分别是二面角的两个半平面a ，b 的法向量，则m1，m2与该二面角的大小相等或互补(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题【复习要求】1了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示2掌握空间向量的线性运算及其坐标
7、表示3掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直4理解直线的方向向量与平面的法向量5能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系6能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题【例题分析】例1 如图，在长方体OAEBO1A1E1B1中，OA3，OB4，OO12，点P在棱AA1上，且AP2PA1，点S在棱BB1上，且B1S2SB，点Q，R分别是O1B1，AE的中点，求证：PQRS 【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k，使得解：如图建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，B1(
8、0，4，2)，E(3，4，0)AP2PA1， 同理可得：Q(0，2，2)，R(3，2，0)，又RPQ，PQRS【评述】1、证明线线平行的步骤：(1)证明两向量共线；(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可2、本体还可采用综合法证明，连接PR，QS，证明PQRS是平行四边形即可，请完成这个证明例2 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面AMN平面EFBD【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行解法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D(0，
9、0，0)，A(4，0，0)，M(2，0，4)，N(4，2，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)取MN的中点K，EF的中点G，BD的中点O，则O(2，2，0)，K(3，1，4)，G(1，3，4)(2，2，0)，(2，2，0)，(1，1，4)，(1，1，4)，MN/EF，AK/OG，MN平面EFBD，AK平面EFBD，平面AMN平面EFBD解法二：设平面AMN的法向量是a(a1，a2，a3)，平面EFBD的法向量是b(b1，b2，b3)由得取a31，得a(2，2，1)由得取b31，得b(2，2，1)ab，平面AMN平面EFBD注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以
10、证明，请试一试例3 在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N是棱A1B1，B1B的中点，求异面直线AM和CN所成角的余弦值解法一：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，M(2，1，2)，C(0，2，0)，N(2，2，1)设和所成的角为q ，则异面直线AM和CN所成角的余弦值是解法二：取AB的中点P，CC1的中点Q，连接B1P，B1Q，PQ，PC易证明：B1PMA，B1QNC，PB1Q是异面直线AM和CN所成的角设正方体的棱长为2，易知异面直线AM和CN所成角的余弦值是【评述】空间两条直线所成的角是不超过90的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数
11、量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角(锐角)例4 如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为，求直线AC1与平面ABB1A1所成角的大小【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB1A1的法向量求解解法一：如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0)，取A1B1的中点D，则，连接AD，C1D则DC1平面ABB1A1，C1AD是直线AC1与平面ABB1A1所或的角，直线AC1与平面ABB1A1所成角的大小是30解法二：如图建立空间
12、直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，)，从而设平面ABB1A1的法向量是a(p，q，r)，由得取p1，得a(1，0，0)设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换例5 如图，三棱锥PABC中，PA底面ABC，ACBC，PAAC1，求二面角APBC的平面角的余弦值解法一：取PB的中点D，连接CD，作AEPB于EPAAC1，PAAC，PCBC，CDPBEAPB， 向量和夹角的大小就是二面角APBC的大小如图建立空间直角坐标系，
13、则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，0)，P(1，0，1)，由D是PB的中点，得D由得E是PD的中点，从而 即二面角APBC的平面角的余弦值是解法二：如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，设平面PAB的法向量是a(a1，a2，a3)，平面PBC的法向量是b(b1，b2，b3)由得取a11，得由得取b31，得b(0，1，1)二面角APBC为锐二面角，二面角APBC的平面角的余弦值是【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上2、当用法向量的方法求二面角时，有时
14、不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的例6 如图，三棱锥PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60，BCA90，点D，E分别在棱PB，PC上，且DEBC()求证：BC平面PAC；()当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的余弦值；()试问在棱PC上是否存在点E，使得二面角ADEP为直二面角?若存在，求出PEEC的值；若不存在，说明理由解：如图建立空间直角坐标系设PAa，由已知可得A(0，0，0)，()BCAP又BCA90，BCACBC平面PAC()D为PB的中点，DEBC，E为PC的中点由()知，BC平面PAC，DE平面PAC，DAE是直线AD与平面PAC所成的角即直线A
