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1、东北师大附中2011-2012学年高三数学（理）第一轮复习导学案54坐标系 编写教师：夏文显 审稿教师：周仁哲一、知识梳理1平面直角坐标系（1）平面直角坐标系的概念： 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系. 它使平面上任一点都可以由唯一的实数对确定.（2）平面直角坐标系中的伸缩变换：设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系：（1）极坐标系的概念： 在平面内取一个定点，叫做极点；自极点O引一条射线，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取
2、弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.（2）极坐标系内任意一点的极坐标的规定：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的角叫做点的极角，记为. 有序数对叫做点的极坐标，记作. 一般的，不作特殊说明时，我们认为，可取任意实数.（3）负极径的规定：在极坐标系中，极径允许取负值，当时，点 位于极角的终边的反向延长线上，且，从而点也可以表示为，.（4）极坐标和直角坐标的互化： 把直角坐标系的原点作为极点，轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 设是平面内任意一点，它的直角坐标是，极坐标是，如图，可以得到它们之间的关系： ， （
3、5）简单曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线C上，那么方程叫做曲线C的极坐标方程.（6）常见的几种圆与直线的极坐标方程： 圆的极坐标方程：（）圆心在极点，半径为的圆的极坐标方程：.（）圆心在，半径为的圆的极坐标方程：.（）圆心在，半径为的圆的极坐标方程：. 直线的极坐标方程：（）过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程：.（）过点，且垂直于极轴的直线的极坐标方程：.（）过点，且平行于极轴的直线的极坐标方程：.二、题型探究探究一：平面直角坐标系中的伸缩变换的应用例1 （1）在平面直角坐标系中，方程所对应的图形经过伸缩
4、变换后的图形为_.（2）在同一直角坐标系中，若经过伸缩变换后，曲线变为曲线，则曲线的方程为_.（3）在同一直角坐标系中，若伸缩变换将直线变成直线，则伸缩变换为_.解：（1）由伸缩变换得到，将其代入中，得到经过伸缩变换后的图形的方程是，故经过伸缩变换后的图形为椭圆.（2）将代入得到，故所求曲线的方程为.（3）设伸缩变换为 将其代入，得，将变成，比较系数得 故所求伸缩变换为.例2 定义变换可把平面直角坐标系上的点变换到这一平面上的点. 特别地，若曲线上一点经变换公式变换后得到的点与点重合，则称点是曲线在变换下的不动点. 已知，且，（）求椭圆的左焦点和右焦点经变换公式变换后得到的点和的坐标；（）求椭
5、圆在变换下的所有不动点的坐标.解：当，且时，变换公式为 （）椭圆的左焦点和右焦点的坐标为，设于是，即的坐标为又 ，即的坐标为.（）设是椭圆在变换下的不动点，则有 ， 在椭圆上，因而椭圆的不动点共有两个，分别为和.探究二：求动点轨迹的极坐标方程例3 如图，点在直线上移动，等腰的顶角为（按顺时针方向排列），若取为极点，正半轴为极轴，建立极坐标系（）写出直线所对应的极坐标方程；（）求点的轨迹的极坐标方程.解：（）直线所对应的极坐标方程为（）设因为点在直线上所以 因为为等腰三角形，且而，所以 且 ，将它们代入 中，得的轨迹的极坐标方程为探究三：极坐标与极坐标方程的应用例4 在直角坐标系中，以为极点，轴
6、正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，分别为曲线与轴，轴的交点（）写出曲线的直角坐标方程，并求的极坐标；（）设的中点为，求直线的极坐标方程解：（）由得：， 曲线的直角坐标方程为 ，即 ，当时， 的极坐标；当时， 的极坐标（）的直角坐标为，的直角坐标为， 的直角坐标为，则的极坐标为，直线的极坐标方程为 例5 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程为（）（）化曲线、的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）设曲线与轴的一个交点的坐标为，经过点作曲线的切线，求切线的方程解：（）曲线：；曲线：（不含点）；曲
7、线为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；曲线为圆心为，半径为的圆（除去原点）（）曲线：与轴的交点坐标为和，因为，所以点的坐标为，显然切线的斜率存在，设为，则切线的方程为，由曲线为圆心为，半径为的圆得 ，解得，所以切线的方程为三、方法提升（1）极坐标系和极坐标的理解：极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：平面直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的；而极坐标系中，对于给定的有序数对,可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标，却不是惟一的（如：判断点与曲线的位置关系）（2）极坐标与直角坐标的互化注意事项：注意极坐标与直角坐标的互化需满足三个条件：
8、原点与极点重合； 轴正半轴与极轴重合； 长度单位相同. 极坐标和直角坐标的互化中，需注意等价性，特别是两边同乘以时，要注意是否是方程的解，若不是，要去掉该解.（3）由极坐标方程给出的问题，若不好处理，就将之转化为直角坐标方程，再加以解决.（4）求动点的极坐标轨迹方程的步骤与在直角坐标系中求轨迹方程类似，关键是从几何的角度获得与的等量关系，要注意利用题中的几何条件以及正弦定理和余弦定理四、课时作业一、选择题（1）将点的直角坐标化为极坐标，正确的是 C（A） （B） （C） （D）（2）在同一平面直角坐标系中，直线经过伸缩变换后，得到的直线方程为 B （A） （B） （C） （D）（3）在极坐标系
9、中，与点关于极点对称的点的坐标是 D （A）（B） （C） （D）（4）在极坐标系中，圆的圆心与点的距离为 A（A） （B） 2 （C）0 （D）1（5）在极坐标系中，圆心坐标是，半径为的圆的极坐标方程是 A（A） （B）（C） （D）（6）在极坐标系中，若，则曲线与的交点的极坐标为 D（A）（B） （C） （D）（7）在极坐标系中，若直线的方程是，点的坐标为，则点到直线的距离为 B（A）0 （B） 2 （C）4 （D）3（8）在极坐标系中，已知两点的极坐标分别为，则（其中为极点）的面积为 C（A）1 （B） 2 （C）3 （D）4二、填空题（9）在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于
10、两点，则_. （10）已知曲线的极坐标方程分别为，则曲线与交点的极坐标为 （11）在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是 1（12）设直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴为极轴建立极坐标系得另一直线的方程为，若直线与间的距离为，则实数的值为 或三、解答题（13）已知圆和圆的极坐标方程分别为，（）把圆和圆的极坐标方程化成直角坐标系方程；（）求经过圆和圆交点的直线的直角坐标方程解：（）圆的直角坐标方程为；圆的直角坐标方程为（） 解得 和 即圆和圆交于点和，所以，所求直线方程为（所求方程也可以通过两个圆方程相减得到）（14）在极坐标系中，圆与直线相切，求实数的值解：圆的直角坐标方程为：，直线的普通方程为：，又圆与直线相切，所以，解得：，或所以，所求实数的值为，或（15）在极坐标系下，已知圆和直线，（）求圆和直线的直角坐标方程；（）当时，求直线与圆公共点的一个极坐标.解：（）圆的直角坐标方程为： ，直线的直角坐标方程为：， （）由 ，得 故直线与圆公共点的一个极坐标为 （16）已知圆的参数方程为（为参数），若是圆与轴正半轴的交点，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点的圆的切线为，求直线的极坐标方程解： 由题设知,圆心 ，故过点的切线的倾斜角为所以，直线的直角坐标方程为，将它化成极坐标方程为：所以，所求切线的极坐标方程为 55 8
