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1、数学思考：平面上100条直线，最多有几个交点教学目标：通过教学，让学生学会“化难为易”的数学思考方法，并能运用这种方法解决实际问题。教学重点：“化难为易”的思考方法。教学难点：发现规律并运用规律。教学过程：一、课前谈话：二、由难变易，体会问题解决的策略：1、我今天特意带来了一个自己遇到的棘手难题，大家一起来帮着解决一下，行吗？来看！2、示题：平面上100条直线，最多有几个交点？（1）请大声读题。（2）我们来个现场抢答吧，准备，一、二、三，开始！A（猜测各种答案）有不同意见吗？你确定吗？请广大同学在众多答案中帮老师找到准确的，谁来？B（哑口无言）怎么了？想把答案保密？还是，你们遇到了什么困难？此
2、类型题目从未见过；直线条数太多。（3）那好，我把直线条数减少一半，50条，怎么样？（还多了）那就再打个五折，25条如何？现在总可以直接告诉我答案了吧！（不行）那你们说说，到底要少到几条，才能马上知道答案？（2条）2条直线相交，几个交点？（1个）（用直尺在原题下方画图，并板书： ） 直线条数 交点个数 2 1（4）可我们最终还是要解决这个问题（指向原题）这，有用吗？（指向目前的结论）接下来怎么办？（再多画几条直线试试看）（5）哦，你是想从2条一直画到100条，然后再去数交点个数，对吗？（不是，只是先画出几条，看看能否找到些规律）这个办法和直接去画100条直线相比，哪个更好？（直接画太繁琐，交点个
3、数也不一定数得清）（6）接下来，请大家带着“找规律”的目的画一画，找出规律并验证成功即可。（学生动手自己研究，师巡视，提出“适当做记录或画个简易表格以方便观察规律” 的要求。）（7）小组内交流：我看到许多自信满满的同学迫不及待的想和大家来分享收获了，为了更多的同学都有表达的机会，请先和同伴交流，并注意以下两点：（请一名学生读）每个人都要发表观点；说说发现了什么规律，是怎样发现的？（8）集体反馈：形成板书：直线条数 交点个数 2 1 3 3 4 6 5 10引导表达规律：从第三条直线起，每增加一条直线，交点个数分别比原来增加2、3、4直到比直线条数少1。你的意思是说，这个3，是在2条直线1个交点
4、的基础上，增加了2个交点，对吗？而6是在之前3个交点的基础上，再增加了3个，用算式来表达就是6=3+3,10=6+4，那么10条直线我不画，你能告诉我是几加几个交点吗？看来，我们得把算式重新整理整理。直线条数 交点个数 2 1 3 3=1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+410 1+2+3+4+9观察这些算式，你发现了什么？（都是从1开始按照自然数排列的顺序依次往后加，一直加到比直线条数少1的数为止。圈出最后的加数。）这里的最后一个加数，为什么总比直线条数少1？谁能借助画图，来说说道理。 第3条直线最多只能和前面2条直线相交，形成2个交点，所以交点个数增加2个。 第4条直线也只能
5、和前面3条直线相交，形成3个交点，所以交点个数增加3个。那么，以此类推，增加的交点个数，总是比直线条数少1的数。（9）解决原题：那原题，是不是可以迎刃而解了？谁来说算式？1+2+3+4+97+98+99怎样计算，又快又好？（介绍等差数列求和方法，并简单解释原理）1+2+3+4+97+98+99=（1+99）992=4950（个）（10）结论归纳：谢谢大家解决了这么难的一个问题。哎，这个“1”是什么？谁能告诉我？（2条直线有1个交点）“2”呢？（第3条直线能和前2条直线相交形成2个交点）“99”呢？（）1+2+3+4+97+98+99，这个算式好是好，但好像仅能解决平面上100条直线交点个数的问
6、题，要是直线条数变成200、365、1000等数量，怎么办？能不能想个办法，不管有多少条直线，都能一次解决？（用字母表示）当直线条数有n条时，交点个数最多有1+2+3+4+（n-1）=n（n-1）2个（11）方法提升：数学上，我们一般把这样的结论称为公式，来一起读一读，（齐读）若是以后你忘记了做这个题的公式，怎么办？（可以重新画图研究，从最少的条数2条开始）好！这些东西（公式），你可以忘掉！（擦去）因为它只能解决平面上交点个数问题！但，像今天这样的研究方法，你可别忘了，这才是智慧！我们今天，要解决100条的问题，却从条数最最少的2开始，再逐步去发现规律，这样的研究方法，谁来用一个词语概括？（板
7、书：化难为易）这就是我们常用的一种数学思考方法。（板书：数学思考）三、独立尝试，应用方法解决问题：1、示题：任意十二边形的内角和是多少度？（1）读题，提出问题。（解释“任意”、“内角和”）（2）谈谈想法：你打算怎样研究？（将边数减少，从三边形开始，到四边形）（3）独立研究，个别指导。（引导关注从一条边上的一点向不相邻的顶点连线，构成三角形的方法）（4）请学生上台汇报，教师适当方法引导。2、谈独立解决问题的感受和经验。四、全堂小结：今天，你们让我感动，从你们身上我看到了未来小小研究学者的模样，这不禁让我想起了著名的数学家华罗庚，他曾说过一段话，和我们今天的研究方法有异曲同工之妙（贴出，齐读）：善于退，足够的退，退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。华罗庚的这段名言道出了解数学题的一种重要方法：以退为进和化难为易是同一种思考的方法；当遇到困难复杂的问题无从下手时，我们常常采用退的方法，在较为简单的情况下，通过观察归纳，逐步找到一些规律，达到解决问题的目的。
