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1、第14讲 极点极线问题一、解答题 1已知椭圆M：（ab0）过A（2，0），B（0，1）两点（1）求椭圆M的离心率；（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）由已知两点坐标得，求得后可得离心率；（2）直线方程为，设（，），由三点共线求得点坐标（用点坐标表示），由共线求得点坐标（用点坐标表示），写出直线的方程，把代入化简对方程变形可得定点坐标【详解】解：（1）因为点，都在椭圆上，所以，所以所以椭圆的离心率（2）由（1）知椭圆的方程为，由题意知：直线的方程为
2、设（，），因为三点共线，所以有，所以所以所以因为三点共线，所以，即所以所以直线的方程为，即又因为点在椭圆上，所以所以直线的方程为所以直线过定点【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，考查椭圆的直线过定点问题，解题方法是设椭圆上的点坐标，利用三点共线变为向量平行，求得直线交点的坐标，得出直线方程，再由在椭圆上，代入化简凑配出定点坐标2若双曲线与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C的左、右顶点分别为，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线与的斜率分别为，且试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由【答案】（1）；（2）直线l恒过定点.【分
3、析】（1）待定系数法椭圆的标准方程；（2）用“设而不求法”把直线和椭圆联立方程组，表示出，整理出直线过定点.【详解】（1）由已知得双曲线的离心率为，又两曲线离心率之积为，所以椭圆的离心率为；由题意知，所以，所以椭圆的标准万程为（2）当直线l的斜率为零时，由对称性可知：，不满足，故直线l的斜率不为零设直线l的方程为，由，得：，因为直线l与椭圆C交于P、Q两点，所以，整理得：，设、，则，因为，所以，整理得：，将，代入整理得：要使上式恒成立，只需，此时满足，因此，直线l恒过定点【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）设而不求是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交
4、的问题；（3）证明直线过定点，通常有两类：直线方程整理为斜截式y=kx+b，过定点(0,b)；直线方程整理为点斜式y - yo=k(x- x0)，过定点(x0,y0) 3如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.（1）求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，Q点的坐标为.【详解】（1）由已知，点在椭圆E上.因此，解得.所以椭圆的方程为.（2）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于C、D两点.如果存在定点Q
5、满足条件，则，即.所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为.当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点.则，由，有，解得或.所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为.下面证明：对任意的直线，均有.当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，A、B的坐标分别为.联立得.其判别式，所以，.因此.易知，点B关于y轴对称的点的坐标为.又，所以，即三点共线.所以.故存在与P不同的定点，使得恒成立.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分
6、类与整合等数学思想.4在平面直角坐标系中，如图所示，已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为.设过点的直线，与此椭圆分别交于点，其中，（）设动点满足：，求点的轨迹；（）设，求点的坐标；（）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关），并求出该定点的坐标【答案】（I）；（II）；（III）.【解析】试题分析：（I）设出点，利用坐标化简，得到点的轨迹；（II）由分别得出直线的方程为，直线的方程为，联立方程组即可求解点的坐标；（III）直线的方程为：，直线的方程为：，分别与椭圆的方程联立，由，求得，此时直线的方程为，过点，若，由，所以直线过点.试题解析：（）由题设得，设动点，由，代入化简得，.故点的轨
7、迹为直线. （）由，得，则点，直线的方程为，由，得，则点，直线的方程为，由 （）由题设知，直线的方程为：，直线的方程为：，点满足；点满足；若，且，得，此时直线的方程为，过点；若，则，直线的斜率，直线的斜率，所以，所以直线过点.因此直线必过轴上一定点. 考点：轨迹方程的求解；直线的交点；直线过定点的判断【方法点晴】本题主要考查了曲线轨迹方程的求解和两直线的交点的计算、直线过定点问题的判定，着重考查了分类讨论的思想方法及函数与方程思想的应用，属于中档试题，本题的第三问题的解答中，由直线的方程，直线的方程，分别与椭圆的方程联立，利用韦达定理求得，再由和，由，两种情况分别判定直线过定点.5已知A、B分
8、别为椭圆E：（a1）的左、右顶点，G为E的上顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.【答案】（1）；（2）证明详见解析.【分析】（1）由已知可得：， ，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解.（2）设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为，当时，可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：即可知直线过定点，当时，直线：，直线过点，命题得证.【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程可得：， ，椭圆方程为：（2）证明：设，则直线的方程为：，即：联立直线的方程与椭圆方程可
9、得：，整理得：，解得：或将代入直线可得：所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为当时，直线的方程为：，整理可得：整理得：所以直线过定点当时，直线：，直线过点故直线CD过定点【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.6已知椭圆：的左焦点为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，分别为椭圆的左、右顶点，为直线上任意一点，直线，分别交椭圆于不同的两点，.求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据椭圆定义确定a，再根据c求b（2）设根据直线与椭圆方程联立方程组解得，N坐标，再根据两点式求MN
10、直线方程，化成点斜式，求出定点试题解析：(1)椭圆的一个焦点，则另一个焦点为, 由椭圆的定义知:，代入计算得 又, 所以椭圆的标准方程为 (2)设， 则直线，与联立，解得 同理 所以直线的斜率为= 所以直线 所以直线恒过定点，且定点坐标为点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.7设椭圆过点，且左焦点为（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交于两不
11、同点，时，在线段上取点，且满足，证明：点总在某定直线上【答案】（1）（2）见解析【分析】（1）根据椭圆的左焦点为，得到，再根据椭圆过点，代入椭圆方程求解.（2）设直线的参数方程是，（为参数），代入椭圆方程，由，化简得到，即，再代入直线参数方程求解.【详解】（1）因为椭圆的左焦点为，所以，设椭圆方程为，又因为椭圆过点，所以，解得所以椭圆方程为：；（2）设直线的参数方程是，（为参数），代入椭圆方程，得：由，得，即，则，点轨迹的参数方程是，则，所以点在定直线上【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及直线的参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8设，点的坐标为（1,1
12、），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程【答案】略【解析】略9已知椭圆的左右顶点分别为点，且，椭圆离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由题知，解方程即可得，故椭圆的方程是.（2）先讨论斜率不存在时的情况易知直线，的交点的坐标是.当直线斜率存在时，设直线方程为，进而联立方程结合韦达定理得，直线的方程是，直线的方程是，进而计算得时的纵坐标，并证明其相等即可.【详解】解：（1）因为，椭圆离心率为，所以，解得，.所以椭圆的方程是
13、.（2）若直线的斜率不存在时，如图，因为椭圆的右焦点为，所以直线的方程是.所以点的坐标是，点的坐标是.所以直线的方程是，直线的方程是.所以直线，的交点的坐标是.所以点在直线上.若直线的斜率存在时，如图.设斜率为.所以直线的方程为.联立方程组消去，整理得.显然.不妨设，所以，.所以直线的方程是.令，得.直线的方程是.令，得.所以分子.所以点在直线上.【点睛】本题第二问解题的关键在于分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况，当直线斜率存在时，设，写出直线的方程是和直线的方程是，进而计算得时的纵坐标相等即可.考查运算求解能力，是中档题.10如图，B，A是椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合
14、的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是，.（1）求证：；（2）若直线PQ过定点，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）设，代入斜率公式求；（2）设直线的方程是，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示，再根据（1）的结论证明.【详解】（1）设 ；（2）设直线的方程是，设 与椭圆方程联立， 得： ， ， ， ， ,由（1）可知，两式消去，解得：.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值和定点，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.11已知椭圆的焦距为分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上的两点(异于)，连结，且斜率是斜率的倍.（1）求椭圆的方程；（2）证明:直线恒过定点.【答案】（1）；（2）证明见
