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1、2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(陕西卷)19(2013陕西，文19)(本小题满分12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率19解
2、：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手从a1，a2，a3和b1，b2，b3，b4，b5，b6中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率.20(2013陕西，文20)(本小题满分13分)已知动点M(x，y)到直线l：x4的距离是它到点N(1,0)的距
3、离的2倍(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率20(1)解：设M到直线l的距离为d，根据题意，d2|MN|.由此得，化简得，所以，动点M的轨迹方程为.(2)解法一：由题意，设直线m的方程为ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)将ykx3代入中，有(34k2)x224kx240，其中，(24k)2424(34k2)96(2k23)0，由求根公式得，x1x2，x1x2.又因A是PB的中点，故x22x1，将代入，得，可得，且，解得或，所以，直线m的斜率为或.解法二：由题意，设直线m的方程为ykx3，A(x1，y1)，
4、B(x2，y2)A是PB的中点，.又，联立，解得或即点B的坐标为(2,0)或(2,0)，所以，直线m的斜率为或.21(2013陕西，文21)(本小题满分14分)已知函数f(x)ex，xR.(1)求f(x)的反函数的图像上点(1,0)处的切线方程；(2)证明：曲线yf(x)与曲线yx2x1有唯一公共点；(3)设ab，比较与的大小，并说明理由21解：(1)f(x)的反函数为g(x)ln x，设所求切线的斜率为k，g(x)，kg(1)1，于是在点(1,0)处切线方程为yx1.(2)解法一：曲线yex与yx2x1公共点的个数等于函数(x)exx2x1零点的个数(0)110，(x)存在零点x0.又(x)
5、exx1，令h(x)(x)exx1，则h(x)ex1，当x0时，h(x)0，(x)在(，0)上单调递减当x0时，h(x)0，(x)在(0，)上单调递增(x)在x0有唯一的极小值(0)0，即(x)在R上的最小值为(0)0.(x)0(仅当x0时等号成立)，(x)在R上是单调递增的，(x)在R上有唯一的零点，故曲线yf(x)与yx2x1有唯一的公共点解法二：ex0，x2x10，曲线yex与yx2x1公共点的个数等于曲线与y1公共点的个数，设，则(0)1，即x0时，两曲线有公共点又(x)0(仅当x0时等号成立)，(x)在R上单调递减，(x)与y1有唯一的公共点，故曲线yf(x)与yx2x1有唯一的公共点(3)设函数u(x)ex2x(x0)，则u(x)ex220，u(x)0(仅当x0时等号成立)，u(x)单调递增当x0时，u(x)u(0)0.令，则得，.2013 陕西文科数学 第4页
