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1、高等几何（第二版）自学指导 目 录第七章 二次曲线的仿射性质第八章 二次曲线的度量性质第七章 二次曲线的仿射性质 本章主要内容如下（所讨论的二次曲线非退化）：一、中心1、定义：中心为无穷远直线的极点2、存在性：椭圆、双曲线有唯一中心，抛物线以无穷远点为中心3、性质：平分过中心的弦4、方程：中心是方程组a 11 x+a 12 y+a 13=0的解a 12 x+a22 y+a 23=0二、直径与共轭直径1、定义（1）无穷远点的极线（非无穷远线）称为直径（2）如何两直径之一的极点在另一直径上，则此两直径称为共轭直径。2、存在性（1）二次曲线有无穷多条直径（2）有心二次曲线有共轭直径，无心二次曲线无共
2、轭直径3、性质（1）有心二次曲线的直径过中心，无心二次曲线的直径彼此平行（2）共轭直径平分与另一条直径平行的弦；平行于过另一端点的切线。4、求法：按照定义三、渐近线1、定义：以与l的交点为切点的的切线2、存在性：双曲线有两条实渐近线，椭圆有两条虚渐近线，抛物线以无穷远线为渐近线。3、性质：渐近线过中心，且调和分割任一对共轭直径4、求法：（1）见EX72（2）按照定义求四、仿射分类 虚椭圆A33 0椭圆 A33 0有心二次曲线二次曲线双曲线A33 0A33 =0 抛物线；无心二次曲线例1 判断二阶曲线的类型，试求曲线的中心，并求出过点（0，1，1）的直径及其共轭直径。解 ，。因为|A|0,A33
3、0，所以方程表示双曲线，中心为（1，1，1）设过点（0，1，1）的直径为，于是得所求直径为： 设所求共轭直径为则 故共轭直径为：例2 求平分二次曲线与直线平行的弦的直径的方程。解 与直线平行的弦上的无穷远点为P（1，2，0），所求直径为P关于曲线的极线，即例3 求双曲线的渐进线方程。解方法一设渐近线的方程为于是有 3k2+2k+1=0解得 k1=1，k2=1/3所以渐近线方程为 和化简得 方法二A31=1，A32=3，A33=4所以中心为（1/4，3/4），带入渐近线方程 分解因式 化简求得两渐进线方程为和第八章 二次曲线的度量性质本章主要内容如下：一、基本概念1、圆点：在直角坐标系下，无穷远
4、线上一对共轭虚点I（1，i, 0）和J（1，-i，0）。 2、迷向直线：通过圆点的虚直线：y=ix+b,y=-ix+c,它具性质： （1）平行性：迷向直线是两束平行的虚直线 （2）极小性：迷向直线上任意两个非圆点的距离为0 （3）迷向性：迷向直线与其它直线的交角不定 3、拉格尔定理： （1）=D，其中=(l1,l2),D=(IJ,PQ), P=l1l,Q=l2l （2）意义：将“交比”同“角度”有机地联系起来，为用射影几何观点研究欧氏几何开辟了道路。二、度量性质 1、主轴和顶点 （1）定义：垂直于它所平分的弦的直径，称为主轴；主轴与二次曲线的普通交点称为顶点。 （2）存在性： 椭圆、双曲线：有
5、两条主轴，四个顶点 抛物线：有一条主轴，一个顶点 圆：任何直径均为圆的主轴，圆上任何点都是顶点 （3）性质：双曲线的两条主轴平分渐近线所成的角 （4）方程：椭圆、双曲线的主轴方程为： a11 a12 a13x（1,k,0） a12 a22 a23y=0a13 a23 a33z2、焦点和准线（1）定义：四条迷向切线的有限交点称为焦点，焦点的极线称为准线。（2）存在性：椭圆、双曲线：有四个焦点，四条准线（两虚两实）抛物线：有一个焦点，一条准线圆：有一个焦点（圆点），一条准线（l）（3）性质过焦点的两条共轭直径互垂二次曲线的任意一条切线与两条定切线的交点在焦点处张成定角（4）求法：先求曲线的迷向切线
6、，再求它们的交点（交点是焦点）。焦点的极线就是准线例1 证明圆的任何一对共轭直径都互相垂直。证明 如上图 已知是圆的一对共轭直径，与交于P，Q，I，J为圆点，根据渐近线的性质，知根据拉盖尔定理的推论可知：例2：证明：在一平面上垂直于同一直线的二直线互相平行。证明 设一平面上直线，直线上的无穷远点顺次为因为，所以因为，所以所以 因此重合为一点，即二直线有公共的无穷远点，即例3 试求二次曲线的主轴方程.解 因为所以方程表示有心二次曲线。解方程 即 解之，得 故所求主轴方程为和 化简后得所求主轴方程为 例4 试求抛物线的主轴和顶点.解 因为，代入公式得主轴为即 解方程组 得顶点之坐标为（3/8，1/8）例5 求抛物线的焦点和准线。解 将已知方程化成齐次式 设自和所作二迷向切线之方程为 将代入，得 有重根的条件为 解之，得 所以，迷向切线方程为和 解出它们的交点，得到焦点为F（1，0，2）再求F（1，0，2）关于二次曲线的极线，得到准线为 1
