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1、分式方程的应用教学案例七河中学 杨克成教学目标：1、通过对具体问题的分析，设适当的未知数，列出有关方程，从而解决实际问题。2、进一步让学生体会分式方程必须“转化”为整式方程来解的思想方法。3、使学生了解解分式方程可能产生增根，知道检验是解分式方程的一个重要步骤。教学重点：列分式方程解应用题.教学难点：根据题意，找出等量关系，正确列出方程.教学过程：一:复习回顾：解下列方程(1) 2/x+x/x+3 =1； （2）1/x-2+3=x-1/x-2本环节的主要作用是让学生进一步体会解分式方程的基本步骤，做到解方程与分式方程的应用顺利过渡。）二：合作探究（一）自主学习教材152153页内容，思考下列问
2、题1.列分式方程解应用题的一般步骤是：（1）审:分析题意,找出数量关系和相等关系.（2）设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.直接设法与间接设法（3）列:根据数量和相等关系,正确列出方程.（4）解:认真仔细解这个分式方程.得未知数的值（5）验:检验.有两次检验.是否是所列方程的解;是否满足实际意义. （6）答:注意单位和语言完整。 2.列方程解应用题例1 一队学生去校外徒步参观，他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍，若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间
3、？请同学根据题意，找出题目中的等量关系。（找一生回答）答：骑车行进路程=队伍行进路程=15(千米)； 骑车的速度=步行速度的2倍； 骑车所用的时间=步行的时间0.5小时。 请同学依据上述等量关系列出方程。 答案：方法1：设这名学生骑车追上队伍需x小时，依题意列方程为.15/x=215/x+0.5方法2： 设步行速度为x千米/时，骑车速度为2x千米/时，依题意列方程为 15/x-15/2x=1/2 解 由方法1所列出的方程，已在复习中解出，下面解由方法2所列出的方程。方程两边都乘以2x,去分母，得 3015=x.所以 x=15.检验：当x=15时，2x=2150,所以x=15是原分式方程的根，并
4、且符合题意。所以骑车追上队伍所用的时间为：15千米/30千米/每小时=1/2小时=30分钟答：骑车追上队伍所用的时间为30分钟。说明：在例1中我们运用了两个关系式，即时间=距离/速度 ，速度=距离/时间 。如果设速度为求知量，那么按时间找等量关系列方程；如果设时间为求知量，那么按速度找等量关系列方程，所列出的方程都是分式方程。例2 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成。现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？分析：这是一个工程问题，在工程问题中有三个量，工作量设为S，工作所用时间设为t，工作效率设
5、为m,三个量之间的关系是 S=mt,或t=s/m ，或m= S/t请同学根据题中的等量关系列出方程。答案：方法1 工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设以为x天，那么乙单独完成工程所需的在数就是(x+3)天。设工程总量为1，甲的工作效率就是1/x ,乙的工作效率就是1/x+3 。依题意，列方程为2(1/x + 1/x+3)+x-2/x+3 =1说明：工作效率的意义是单位时间完成的工作量。方法2 设规定的日期为x天，乙与甲合作两天后，剩下的工程由乙单独做，恰好 在规定日期完成，因此乙的工作时间就是x天，根据题意列方程2/x+ x/x+3=1。方法3 根据等量关系，总工作量甲的工作量=乙的工作
6、量，设规定日期为x天，则列方程12/x = 2/x+3+x-2/x+3 。用方法1方法3所列出的方程，我们已在新课之前解出，这里就不再解分式方程了。重点是找等量关系列方程。随堂练习1甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工240个零件，已知甲每小时比乙少加工5个零件，求两人每小时各加工的零件个数。2A，B两地相距135千米，有大、小两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟。已知大、小汽车速度的比为2:5,求两辆汽车的速度。小结：1 .列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同，不同点是，解分式方程必须要验根。一方面要看原方程是否有增根，
7、另一方面还要看解出的根是否符合题意。原方程的增根和不符合题意的根都应舍去。2列分式方程解应用题，一般是求什么量，就设所求的量为未知数，这种设未知数的方法叫设直接未知数。但有时可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量，而是设另外的量为未知量这种设未知数的方法叫做设间接未知数。在列分式方程解应用题时，设间接未知数，有时可使解答变得简捷。例如在课堂练习中的第2题，若题目的条件不变，把问题改为求大、小两汽车从A地到达B地各用的时间，如果设直接未知数，即设小汽车从A地到B地需用时间为x小时，则大汽车从A地到B地需(x+51/2 ),依题意，列方程135/x+5-1/2：135/x=2:5。解这个分式方
8、程，运算较繁琐。如果设间接未知数，即设速度为未知数，先求出大、小两辆汽车的速度，再分别求出它们从A地到B地的时间，运算就简便多了。反思：1教学设计中，对于例1，引导学生依据题意，找到三个等量关系，并用两种不同的方法列出方程；对于例2，引导学生依据题意用三种不同的方法列出方程。这样安排，意在启发学生能善于从不同的角度、不同的方向思考问题，激励学生在解决问题中养成灵活的思维习惯。这就为在列分式方程解应用题教学中培养学生的发散思维提供不广阔的空间。2教学设计中体现了充分发挥例题的模式作用。例1是行程问题，其中距离是已知量，求速度(或时间)；例2 是工程问题，其中工作总量为已知量，求完成工作量的时间(
9、或工作效率)。这些都是运用列分式方程求解的典型问题。教学中引导学生深入分析已知量与未知量和题目中的等量关系，以及列方程求解的思路，以促使学生加深对模式的主要特征的理解和识别，让学生弄清哪些类型的问题可借助于分式方程解答，求解的思路是什么。学生完成课堂练习和作业，则是识别问题类型，能把面对的问题和已掌握的模式在头脑中建立联系，探求解题思路。3通过列分式方程解应用题教学，渗透了方程的思想方法，从中使学生认识到了方程的思想方法是数学中解决问题的一个锐利武器。方程的思想方法可以用“以假当真”和“弄假成真”两句话形容。如可通过设直接未知数或间接未知数的方法，假设所求的量为x,这时就把它作为一个实实在在的
10、量。通过找等量关系列方程，此时是把已知量与假设的未知量平等看待，这就是“以假当真”。通过解方程求得问题的解，碑假设的未知量x就变成了确定的量，这就是“弄假成真”。本节课也暴露了很多不足之处：1.学生们对于检验的过程总是容易丢失，说明还是对检验这个必要的步骤理解的不是很深刻，所以会出现易遗忘的现象，也暴露了我在教学时强调的力度还是不够，以后应着重强调。2.对于等量关系的寻找，还有很多学生有困难，尤其是对题中条件比较多，或是等量关系比较隐含的应用题，在寻找等量关系的时候感到无从下手，或者出现了顾此失彼的现象。这也说明了教师在讲授应用题时应将重点放在怎样帮学生寻找等量关系，怎样从繁琐的条件中拨开云雾，理清思路，这是应用题教学的重中之重。3.学生们还很习惯于用整式方程的思考方式来分析应用题，总是很难以直接建立分式方程的模型，这个也可以理解，毕竟对于以前学习的知识印象比较深刻，难以直接接受新的事物，所以在教学时要多引导学生对这种模型的认识，让他们明白建立分式方程解应用题的模型对今后解这类应用题有很大的帮助。 2013-12-20
