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1、第二章 矩阵一. 填空题1. = . 2. = . 3. 4. . 5. . 6. = . 7. 8. 已知 . 9. .10. A、B均为n阶对称矩阵，AB仍为对称阵的充分必要条件是 .11. 12.13.设,则 14.设A,B分别为m,n阶方阵,|A|=a,|B|=b,C=,则|C|= 15. 设为正整数,则 16.设为正整数,则 17.18.19.20.设A为三阶方阵,|A|=2,则|2A-1|= , |AT|= ,|(AT)T|= ,|A-1-AT|= .21.设则 (AT)-1= 22. 设A,B为3阶方阵, .23.设方阵A,B满足,其中为A的伴随矩阵,则B= .25. . 26.
2、A为34矩阵，且A有一个3阶子式不等于0，则r(A)= .27.设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵的秩为 28. .29设 .30.设,则r(A)= .二. 选择题1.设A是mn矩阵,B是sm矩阵,则ATBT是( )矩阵.(A) ms (B) ns (C) mn (D)sn.2.设A是mn矩阵,B是nm维矩阵,C是nn矩阵,则下列算式没有意义的是( ).(A) AB (B) |AB| (C) A+C (D)CB.3.( )（A） （B） （C）0 （D）1.4.矩阵的最简形是 ( )（A）（B）（C）（D）.5.（ ）.（A）100 （B） （C） （D）3.6.（ ）（A）0 B） （C）
3、（D）7.设A、B均为n阶方阵，且AB=0，则必有（ ）.(A) |A|=0或|B|=0 (B) A+B=0 (C)A=0或B=0 (D) |A|+|B|=0.8.A、B均为n阶对称矩阵，AB仍为对称阵的充分必要条件是（ ）.(A)A可逆 (B)B可逆 (C)|AB|0 (D)AB=BA.9. ( ) （A）|A|=0 (B)|E+B|=0 (C) |A|=0或|E+B|=0 (D) |A|=0且|E+B|=0.10. 设A,B,C均为n阶方阵,下列错误的运算律为( ).(A) (B) (C) (D) 11设A,B为n阶对称矩阵,则( )不一定是对称矩阵.(A)AT (B) A+B (C)AB
4、 (D)AAT12.下列矩阵中( )不是初等矩阵.(A) (B) (C) (D)13.（ ）（A）若AB=AC则B=C (B) 若AB=CB则A=C (C) 若AB=0则B=0 (D) 若BC=0则B=0.14.（A）对称矩阵 (B) 可逆矩阵 (C) n阶矩阵的转置矩阵 (D) 线性方程组的系数矩阵.15.（ ）（A） (B) (C) (D) .16.A、B、A+B、A1+B1均为n阶可逆阵，则=（ ）.(A) A-1+B-1 (B)A+B (C) A（A+B）1B (D) （A+B）1.17. 设n阶矩阵A，B, C满足ABC = E,则必有（ ）.(A) ACB = E (B) CBA
5、= E (C) BAC= E (D) BCA = E18. 设A，B均为n阶矩阵，则必有（ ）.(A) (B) AB =BA (C) (D) 19. 设A 是n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，则（ ）.(A) = (B) = (C) =n, (D) =20. 若A 为n阶可逆矩阵， 下列各式正确的是（ ）.(A) (B) AA*O (C) (D) 21. 要断言矩阵A的秩为r，只需条件( )满足即可.(A)A中有r阶子式不为0 (B)A中任何r+1阶子式为0(C)A中非0的子式的阶数小于等于r (D)A中非0的子式的最高阶数等于r.22. A为3阶方阵，其秩r（A）=2，则（ ）不正确.（A）
6、任意二阶子式均不为零（B）至少有一个二阶子式不为零（C）其行最简形矩阵有两行首个非零元是1（D）行阶梯矩阵中有两个非零行.23.若n阶方阵A的秩为r，则结论( )成立。(A) (B) (C) rn. (D)r24.A，B都是n阶非零矩阵，且AB=0，则A和B的秩（ ）.（A）必有一个等于零 （B）都小于n（C）一个小于n，一个大于n （D）都等于n. 25.设3阶矩阵，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有（ ）.（A） （B）（C） （D）.26.n阶方阵则a=( ) (A)1 (B) (C)-1 (D)三. 计算题1设，求AB及(AB)T.2设，求3AB2A及ATB.3如果矩阵X满足X+3A=2
7、BX, 其中，求X.4.将线性方程组写成矩阵形式.5.化矩阵为行最简形.6.设为n阶方阵, 求|A|.7.设到的线性变换为, 到的线性变换为求到的线性变换.8. 9.10. 11.利用初等行变换求下列方阵的行最简形(1), (2).12. 已知等式.求x, y, z, w .13.如果 f (x) = x2x+1, , 求f (A).14. .15.设A=,求An16.求可与A=,B=交换的所有矩阵.17判断下列矩阵是否可逆，如果可逆， 求其逆矩阵：（1），（2）18.解下列矩阵方程;19.20. 21.22. 23.24设，其中，25设 A为n阶矩阵，A*为其伴随矩阵，求.26.设AX+B=
8、C,其中.27.设的秩为2，求x .28.设求r(A)29已知B为3阶非零矩阵，且满足BA=O.求参数t.30.设矩阵且求k.四.证明题1. 设为n维列向量，为n阶单位矩阵，A=E2T，试证：AT=A.2. 已知验证：(1) (A+C)B =AB+CB; (2) (AB)C=A(BC).3记n阶方阵A,B的迹分别为tr(A)，tr(B)，试证（1）tr(AT) = tr(A),（2）tr(AB) = tr(BA).4.5.6.设A 是n阶对称阵,B是n阶反对称阵,证明A-B2是对称阵7.设A,B是n阶方阵,满足A2=A,B2=B,(A+B)2=A+B,证明:AB=O8证明如果A是非奇异对称（反
9、对称）矩阵，则A也对称（或反称）.9. .10.设A为n阶方阵,且,(1) 证明A可逆,并求A-1;(2) 若|A|=2,求|4A-8E|.11.已知n阶方阵A满足2A(A-E)=,求(E-A)-1.12. 证明：若，则必可表作r个秩为1的矩阵之和.答案与解法提示一. 1.； 2.10； 3.； 4.； 5.; 6. ; 7. ； 8.；9. ； 10.AB=BA； 11. ； 12. 13 . ; 14. 15.; 16. 17. ；18. 19. 16；20. 21. 22. ;23.; 24. ； 25. 5； 26.3 ；27. 0（提示：r(A)=2,知A的所有3阶子式均为0.从而=
10、O, 即）; 28. .k=3；29. 2(提示：)； 30.1(提示：A的各行成比例).二. 1. (B); 2. (C); 3.（B ）; 4.（A ）; 5.（C ）； 6.（D ）； 7.（A ）； 8.（D ）； 9. （C）;10. (C)；11.(C); 12.(D); 13.（A）（C）；14.（A）（B）（C）; 15. (C); 16.（C）; 17.（D）； 18. (C）； 19.（B）；20.（B）; 21.(D); 22.（A）; 23. (D); 24.(B); 25.(C) (提示：，若a=b则r(A)=1,从而r(A*)=0不合题意，排除(A)、(B);若则r
11、(A)=3，从而r(A*)=3不合题意，排除(D); 26. (B).三. 1. AB=, (AB)T=;2., ;3.; 4. ; 5. ; 6. ;7. ; 8. ； 9.；10. 0； 11. (1), (2);12. 3,-6,0,2; 13.;14.;15. 找出递推公式 An=(-4)n-1A ; 16.提示:利用AB=BA及B=A+2E;17. (2) ； 18.;19.； 20.； 21. ； 22. ； 23. ; 24.； 25. ； 26. ; 27.2； 28.; 29t=5;30. 提示：由得: 所以因时，从而四.1.提示：； 2.（略）.3.(1) 4. 提示：利用范德蒙行列式.5.（略）6. (略)7. 提示:计算得出AB+BA=O后,左乘A,右乘A得出AB=BA.8.（略） 9.（略 ）10.提示 (1)利用逆阵定义; (2)|4A-8E|=.11. 12. 提示：依题意，有可逆矩阵P、Q使得其中矩阵Bi（i=1,2,r）的第i行、第i列的元素为1，其余元素均为0.显然r (Bi)=1.从而由于P-1、Q-1是可逆矩阵，故r (P-1Bi Q-1)=1.
