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1、资料Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for JAVA.（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面内与两个定点 F 、F 的距离之和等于定长（大于| FF |）的点的1 2 1 2轨迹叫做椭圆。这两个定点 F 、F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离| FF |叫做椭圆的焦1 2 1 2 距。对椭圆定义的几点说明：（1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球 面）；（2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分；（3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”必须满足
2、大于| .F21这个条件。若不然， 当这个“常数”等于| FF21时，我们得到的是线段FF2；当这个“常数”小于| F.F2|时，无 轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个 对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A1，A2，B1，b2,于是我们易得|AA2| 的值就是那个“常数”且|BF| + |BF|、|BF | + |BF |也等于那个 “常数”同学们想一想2 2 2 1 1 2 1 1 其中的道理。（5）中心在原点、焦点分别在x轴上，y轴上的椭圆标准方程分别为:艺 + 上=1 （ab0）,注 + 竺二 1
3、 （ab0）,a2 b2a2 b2相同点是：形状相同、大小相同；都有a b 0 , a2 = c2 + b2。不同点是:两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的 焦点坐标为（一c, 0）和（c, 0）,第二个椭圆的焦点坐标为（0,c）和（0, c）。椭圆的 焦点在x轴上O标准方程中X2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上O标准方程中y2项 的分母较大。（二）椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标； 一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率对于第一类性质，只x2 y2要一 +=1 （ab0）的有关性质中
4、横坐标X和纵坐标y互换，就可以得出 a2 b2y2x202+证=1 （ab0）的有关性质。总结如下:方程X 二1JjL.fflafi31fiWiT 总曰-I了冬b关Tr轴.，岫，坐标原点对鸯英于工轴.y拍，堂标原点时称顶点Af ( Qu 0),0)JJi CO,-ft)CO，*)A( (0 p5 A2 (Os a 离心1率a几点说明：(1) 长轴：线段A A，长为2a ;短轴：线段B B，长为2b ;焦点在长轴上。1 2 1 2(2) 对于离心率e,因为acO,所以Oel,离心率反映了椭圆的扁平程度。c Ja 2 b2L b2，小由于e =、：1-,所以e越趋近于1, b越趋近于0 ,椭圆越扁
5、平；ea a Va 2越趋近于0, b越趋近于a，椭圆越圆。(3) 观察下图，I OB 1= b,l OF 1= c，所以I BF 1= a，所以椭圆的离心率e = cos2 2 2 2ZOFB直线l: Ax + By + C 0 ( A、B不同时为0)x 2 y2椭圆 C :+- =1 (a b 0)a2 b2那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组,通过方程组的解的个数来判断直线和椭圆交点的情况。方法如下：Ax + By + C 0 0) ,A = n2 一 4mp(1) 当A0时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点；(2) 当A = 0时，方程组有一解，直线与椭圆有
6、一个公共点(相切)；(3) 当A0时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为A(x, y ), B (x , y )，那么线段AB的 1 1 2 2长度(即弦长)为I AB-x )2 + (y - y )2 ,设直线的斜率为k，1 2 1 2可得：I AB l= (x -x )2 + k(x -x )2 = 1 + k2 I x -x I，然后我们可通过求出方程的1 2 1 2 1 2根或用韦达定理求出。典型例题一例1椭圆的一个顶点为A(2,0),其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程.分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解：(1)当A(2,0)
7、为长轴端点时，a = 2， b = 1，x 2 y 2椭圆的标准方程为：+=1 ；41(2)当A(2,0)为短轴端点时，b = 2， a = 4，x 2 y 2椭圆的标准方程为：+ TZ=1 ；416说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆 的横竖的，因而要考虑两种情况典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率解： 2c = x 2 x3c2 = a2，c3 e .J33说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a,求c,再求比.二是列 含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可.典型例题三例3已知中心在原点,焦点在x
8、轴上的椭圆与直线x + y-1 0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.x2 解：由题意，设椭圆方程为一+ y2 = 1,a2x + y -1 = 0由 x2，得 6 + ax2 - 2a 2x = 0 ,+ y 2 =1I a2yM =1- xMx +x 1+a2X = T 2 =M 2 a 2kOMxM. a2 = 4 ，a2.+ y2 =1为所求.4说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要 借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题典型例题四x2 y 2例4椭圆25+9=1上不同三点Am ，BA
9、DC3 y2）与焦点F（4，）的距离成等差数列（1）求证 X + X = 8 ；12AF由圆锥曲线的统一定义知：（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T,求直线BT的斜率k. 证明：（1）由椭圆方程知a = 5， b = 3， c = 4 .a2xc14|AF| = a ex = 5 5 x同理|CF| = 5-5x2.且 BF = I，(4)(4、5 x+5 xI 5 1丿I 5 2丿|AF| + |CF| = 2|BF|185，即 x +x =812丫 y + y、(2)因为线段AC的中点为4,土厶k 2丿，所以它的垂直平分线方程为y -(x 4).2 y y12又点T在x轴上，设其坐
10、标为0,0)，代入上式，得12又 点A(x, y ), B(x , y )都在椭圆上,1 1 2 29 ()y 2 =25 x 2 丿1 251y 2 = 6 x 2)2 25 2y2 y2 = (x + x )G x ).1 2 25 1 2 1 2将此式代入，并利用x +x =8的结论得123625x 4 =0k =BT9 - 0 5丄_=54 x 40典型例题五x2 y 2例5已知椭圆才+ -=】，F、1F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到左准线i的距离MN是|mf|与Mfj的等比中项？若存在，则求出点m的坐标；若不存在,请说明理由.解：假设M存在，设M(X,1/1 FJ-iMy
11、A丿y)，由已知条件得11e =.2a = 2, b =、；3，.: c = 1,左准线l的方程是X = -4,|MN = 4 + x .又由焦半径公式知MF I = a - ex=2 - 2 xi|MF | =a + ex|MN|2 = |MF| - |MF|,整理得 5x2 + 32x + 48 = 0 .1112解之得x = -4或x =-.115另一方面-2 x 2 .1则与矛盾，所以满足条件的点M不存在.说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条 件进行推理和运算进而根据推理得到的结果，再作判断（3）本例也
12、可设Mcos0,3sin存在，推出矛盾结论（读者自己完成）.典型例题六x 2（ 1 1 例6已知椭圆+y2 = 1，求过点p -，且被p平分的弦所在的直线方程.212 2 丿分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k .1 （ 1）解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为y-并=k x-卞.代入椭圆方程，并2 2丿整理得(+ 2k 2+2k 2 -k+2=o.2k2 - 2k由韦达定理得x1+ x2 = pkT/ P是弦中点，x + x = 1 .故得k =-.1 2 2所以所求直线方程为2 x + 4 y - 3 = 0.分析二：设弦两端坐标为, y ）、（x , y
13、），列关于x、x、y、y的方程组，从1 1 2 2 1 2 1 2y 一 y而求斜率：12 .x 一 x12解法二：设过pf，,的直线与椭圆交于aG, y ）、B（x , y），则由题意得 （2 2 丿 112 2-t + y 2 = 1，2 1 2 + y 2 = 1，2 2+ = 1，1 2y + y = 1.12 2 一 2一得1小2 + y2y2 = 0.2 1 2y 一 y11将、代入得=-恳，即直线的斜率为一恳. 一2212所求直线方程为2 + 4 y 3 = 0.说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点 轨迹；过定点的弦中点轨迹（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”有关二次曲 线问题也适用典型例题七例 7 求适合条件的椭圆的标准方程（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点（2,- 6）；（2）在 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6 2 y 2 分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由一 + 1 = 1求出a2 = 148， a 2 b 2b2 =3
