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1、七年级数学上册3.4实际问题与一元一次方程一元一次方程竞赛选讲素材（新版）新人教版一元一次方程竞赛选讲 早在300多年前法国数学家笛卡尔有一个伟大的设想：首先把宇宙万物的所有问题都转化为数学问题；其次，把所有的数学问题转化为代数问题；最后，把所有的代数问题转化为解方程虽然笛卡尔“伟大设想”没有实现，但是充分说明了方程的重要性 一元一次方程是代数方程中最基础的部分，是后续学习的基础，其基本内容包括：解方程、方程的解及其讨论 解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程 当方程中的系数是用字母表示时，这样的方
2、程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为axb的形式，继续求解时，一般要对字母系数a、b进行讨论： 1当时，方程有惟一解；2当时，方程无解； 3当时，方程有无数个解例题 【例1】 (1)已知关于I的方程和有相同的解，那么这个解是 (北京市“迎春杯”竞赛题)（2）如果，那么n (江苏省竞赛题) 思路点拨 (1)设法建立关于a 等式，再解关于a的方程求出a的值；(2)恰当地解关于n的一元一次方程 注： 对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是通法，后者是技巧；前者是基础，后者是机智只有真正掌握一般步骤，才能“热能生巧” 方程的解是方程理论中的一个重要概念，解题中要学全从两个方面去应用
3、： (1)求解；通过解方程，求出方程的解进而解决问题；(2)代解：将方程的解代入原方程进行解题当地解关于n的一元一次方程 【例2】 当b=1时，关于x的方程a(3x-2)+b(2x-3)=8x-7有无数多个解，则a等于( ) A2 B一2 C D不存在 (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 将b=1代人原方程，整理所得方程，就方程解的个数情况建立a的等式 【例3】 是否存在整数k，使关于k的方程(k一5)x+6=15x；在整数范围内有解?并求出各个解 思路点拨 把方程的解x用k的代数式表示，利用整除的知识求出k【例4】 解下列关于x的方程 (1)4x+b=ax-8； (a4) (2)mx-1nx
4、； (3) 思路点拨 首先将方程化为ax=b的形式，然后注意每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论 【例5】已知都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px+5q=97的解是1，求代数式40p十101q+4的值 (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 用代解法可得到的关系式，进而综合运用整数相关知识分析 注：同一个方程在不同的数集范围内求解，其解集往往是不同的对于含字母系数的方程，我们不但可讨论方程根的个数，而且还可以探求解的性态，如整数解、正数解，负数解，解这类问题，常常要用到整数知识、枚举、分类讨论等方法。解一元一次方程常用的技巧有：(1)有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行；(2)当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母；(3)当分母中含有小数，可用分数的基本性质化成整数；(4)逼用整体思想，即把含有求知数的代数式看作一个整体进行变形3
