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1、 数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A B C D2.已知为虚数单位，设复数，则的虚部为（ ）A B C2 D-23.已知双曲线的实轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D 4.在等比数列中，是方程的两根，则（ ）A6 B2 C.2或6 D-25.设实数，则（ ）A B C. D6.执行如下程序，输出的值为（ ）A B C. D7.函数的大致图象是（ ）A B C. D8.如图，边长为1的网格上为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B C. D9.2
2、016年11月16日18日，备受世界瞩目的第三届世界互联网大会在浙江乌镇召开，会议期间，组委会将这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作，若要求必须相同，且每组至少2人，则不同的分配方法有（ ）A18种 B20种 C. 22种 D以上都不对10.设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上的一点，且，为垂足，若直线的倾斜角为，则（ ）A1 B C.2 D11.已知是正三棱椎，其外接球的表面积为，且，则三棱锥的体积为（ ）A B C. D12.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A B C. D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知二项式的展开
3、式中第3项与第4项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为 14.已知菱形的中心为，则等于 15.意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,114,233，即，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列，则 16.已知满足约束条件，若不等式恒成立，则实数的最大值是 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）设锐角中，角的对边分别为，且是与的等差中项.（）求角的大小；（）若，求面积的最大值.18.（本
4、小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，于点，为线段上一点，且.（）求证：平面；（）若，且，求二面角的余弦值.19.（本小题满分12分）某市需对某环城快速车道进行限速，为了调研该道路车速情况，于某个时段随机对100辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：经计算：样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于或车速大于是需矫正速度.（）从该快速车道上所有车辆中任取1个，求该车辆是需矫正速度的概率；（）从样本中任取2个车辆，求这2个车辆均是需矫正速度的概率；（）从该快速车道上所有车辆中任取2个，记其中是需矫正速度的个数为，求的分布列和数
5、学期望.20.（本小题满分12分）已知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为.（）求椭圆的标准方程；（）若点是椭圆上的动点（不在轴上），过右焦点作直线的垂线交直线于点.判断点运动时，直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论.21.（本小题满分12分）已知函数的图象在点处的切线方程为.（）求实数的值及函数的单调区间；（）当时，比较与（为自然对数的底数）的大小.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线，以原点为极点，轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（）将直线写成参数方程（为参数，）的
6、形式，并求曲线的直角坐标方程；（）设直线与曲线交于点（点在第一象限）两点，若点的直角坐标为，求的面积.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（）若，求函数的值域；（）若，解不等式.试卷答案一、选择题1. 【解析】集合，因此.故选.2. 【解析】，故，其虚部为2.故选.3. 【解析】实轴长，故，因此渐近线方程为，故选.4. 【解析】因为是方程的两根，所以，所以，又数列为等比数列，所以，所以，所以，故选.5. 【解析】，且，易求得，故，故选.6. 【解析】依题意可得，故选.7. 【解析】由题得，所以不选项.当时，故排除项.故选.8. 【解析】依据三视图，知所求几何体是底面为等
7、腰直角三角形的三棱锥和一个半圆锥的组合体，故其体积为，故选.9. 【解析】分组的方案有2、4和3、3两类.第一类有种不同的分配方法；第二类有种不同的分配方法，故共有种不同的分配方法，故选.10. 【解析】中，抛物线焦点到准线的距离，故.所以，又，所以，故选.11. 【解析】如图，设的中心为，易知球的半径，设的边长为，中，解得，三棱锥的体积.故选. 12. 【解析】.，依题意，函数在区间上为减函数，故恒成立，因此在区间上恒成立，令，因此，若对恒成立，即，因为，故恒成立，即，设，则，故在区间上单调递增，所以，所以.故选.二、填空题13.90 【解析】依题意知，的通项公式为，令，得，故含项的系数为.
8、 14. 【解析】. 15.1 【解析】斐波那契数列的前几项为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987，则数列的前几项为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，因此数列是周期数列，其周期为8，因此. 16. 【解析】作出不等式组表示的可行域，如图.令，可知为点与可行域内点的连线的斜率，由图知的取值范围是，即.恒成立，又，而当时，故，因此.所以实数的最大值是.三、解答题，.又为锐角，.（），当且仅当时，取等号.的面积.即面积的最大值为（当且仅当时，等号成立）.18.解：（），平面，平面，.又平面，平面，.又都是平面中的直
9、线，.又平面，平面.（），且，又，在中，同理，.由（），知平面，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，.则，.设平面的一个法向量为，则，即，取，则，即.取棱的中点，连接.易证得平面.平面的一个法向量为.易知二面角所成的平面角为锐角，二面角的余弦值为.19.解：（）记事件为“从该快速车道上所有车辆中任取1个，该车辆是需矫正速度”.因为，由样本条形图可知，所求的概率为.（）记事件为“从样本中任取2个车辆，这2个车辆均是需矫正速度”.由题设可知样本容量为100，又需矫正速度个数为5个，故所求概率为.（）需矫正速度的个数服从二项分布，即，因此的分布列为由，知数学期望.20.解
10、：（）由题意得，所以，因此，所以椭圆的标准方程为.（）易知.设点，则，由，得，所以，所以直线的方程为，即，将代入化简，得，即，代入椭圆方程，得，即，即，其判别式，所以直线与椭圆相切.21.解：（）函数的定义域为，因为的图象在点处的切线方程为，所以，解得，.所以.所以.令，得，当时，单调递增；当时，单调递减.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（）当时，.证明如下：因为时单调递减，且，又，当时，单调递增，且.若，则必都大于1，且必有一个小于，一个大于.不防设，当时，必有.当时，设，则.因为，所以.故.又，所以.所以在区间内单调递增.所以.所以.因为，所以，又因为在区间内单调递增，所以，即.综上，当时，.22.解：（）直线的倾斜角为，因此写成参数方程的形式为，由，得曲线的直角坐标方程为.（）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，设是方程的两根，解得，又点在第一象限，故点对应，代入到，得到点纵坐标，因此.23.解：（）当时，当且仅当，即时，取等号.故函数的值域为.（）当时，.当时，得，此时解集为；当时，得，此时解集为；当时，得，此时解集为.综上所述，不等式的解集为.
