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1、一元二次方程整数根问题的十二种思维策略一.利用判别式例 1.（2000 年黑龙江中考题）当 m 是什么整数时，关于 x 的一元二次方程 mx2 - 4x + 4 = 0与 x2 - 4mx + 4m2 - 4m - 5 = 0 的根都是整数。解：方程 mx2 - 4x + 4 = 0 有整数根，=16-16m0，得 m1又方程 x2 - 4mx + 4m2 - 4m - 5 = 0 有整数根A= 16m2 - 4(4m2 - 4m - 5) 05综上所述， m14x 可取的整数值是-1，0，1得 m -54当 m=-1 时，方程为x 2 -4x+4=0 没有整数解，舍去。而 m0m=1例 2（
2、1996 年四川竞赛题）已知方程 x2 + mx - m +1 = 0有两个不相等的正整数根，求 m 的值。解：设原方程的两个正整数根为 x 1 ，x 2 ，则 m=(x 1 +x 2 )为负整数.A= m2 + 4m - 4 一定是完全平方数设 m2 + 4m - 4 = k 2 （ k 为正整数） (m + 2)2 - k 2 = 8即： (m + 2 + k )(m + 2 - k ) = 8m+2+km+2-k,且奇偶性相同m + 2 + k = 4m + 2 + k = -2 m + 2 - k = 2 或m + 2 - k = -4解得 m=10（舍去）或 m=5。12当 m=5
3、时 ，原方程为 x 2 -5x+6=0，两根分别为 x =2，x =3。二.利用求根公式例 3（2000 年全国联赛）设关于 x 的二次方程(k 2 - 6k + 8)x2 + (2k 2 - 6k - 4)x + k 2 = 4的两根都是整数，求满足条件的所有实数 k 的值。解： A= (2k 2 - 6k - 4)2 - 4(k 2 - 4)(k 2 - 6k + 8) = 4(k - 6)2-2k 2 + 6k + 4 2(k - 6)由求根公式得 x =2(k 2 - 6k + 8)即 x = -1-2, x = -1-41k - 42k - 224由于 x-1，则有 k - 4 =
4、-x1 +1, k - 2 = -x2 +124两式相减，得-= 2x1 +1即 x1(x2 + 3) = -2x2 +1由于 x 1 ，x 2 是整数，故可求得 x1 = 2, x2 = -4 或 x1 = -2, x2 = -2 或 x1 = 1, x2 = -510分别代入，易得 k=，6，3。3三.利用方程根的定义例 4.b 为何值时，方程x2 - bx - 2 = 0 和 x2 - 2x - b(b -1) = 0 有相同的整数根？并且求出它们的整数根？解：两式相减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b)当 b2 时,x=1+b,代入第一个方程,得(1+ b)2 - b(1+ b)
5、 - 2 = 0解得 b=1,x=2当 b=2 时,两方程无整数根.b=1,相同的整数根是 2四.利用因式分解例 5.（2000 年全国竞赛题）已知关于 x 的方程(a -1)x2 + 2x - a -1 = 0 的根都是整数，那么符合条件的整数 a 有个. 解: 当 a=1 时,x=12当 a1 时,原方程左边因式分解,得 (x-1)(a-1)x+(a+1)=0即得 x1 = 1, x2 = -1+ 1- ax 是整数 1-a=1,2,a=-1,0,2,3由上可知符合条件的整数有 5 个.例 6.(1994 年福州竞赛题) 当 m 是什么整数时,关于 x 的方程 x2 - (m -1)x +
6、 m +1 = 0的两根都是整数?解：设方程的两整数根分别是 x 1 ，x 2 ，由韦达定理得x1 + x2 = m -1Lx1 x2 = m +1L由 - 消去 m ，可得 x1 x2 - x2 - x1 = 2 (x1 -1)(x2 -1) = 3 = 1 3 = -1(-3)x1 -1 = 1x1 -1 = -1则有x-1 = 3或x-1 = -3 2 2x1 = 2x1 = 0解得： x = 4或x= -2 2 2由此 x1 x2 = 8 或 0，分别代入，得 m = 7 或 m = -1五.利用根与系数的关系例 7.(1998 年全国竞赛题) 求所有正实数 a,使得方程 x2 - a
7、x + 4a = 0 仅有整数根.解：设方程的两整数根分别是 x 1 ，x 2 ，且 x1 x2由根与系数的关系得x1 + x2 = a 0Lax1 x2 = 4a 0L由得 2 x2 a将代入得4a = x1x2 x1a4a = x x x a1 21 2 4 x1 8显然 x 1 4，故 x 1 可取 5，6，7，8。从而易得 a=25，18，16。六.构造新方程例 8.(1996 年全国联赛)方程(x - a)(x - 8) -1 = 0 有两个整数根,求 a 的值.解：原方程变为(x - 8)2 + (8 - a)(x - 8) -1 = 0设 y=x-8，则得新方程为y2 + (8
8、- a) y -1 = 0设它的两根为 y 1 ，y 2 ，则y1 + y2 = a - 8, y1 y2 = -1x 是整数，y 1 ，y 2 也是整数，则 y 1 ，y 2 只能分别为 1，-1 或-1，1即 y 1 +y 2 =0a=8。七.构造等式例 9.(2000 年全国联赛 C 卷) 求所有的正整数 a,b,c,使得关于 x 的方程x2 - 3ax + 2b = 0, x2 - 3bx + 2c = 0, x2 - 3cx + 2a = 0 的所有的根都是正整数.解：设三个方程的正整数解分别为 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ，则有123456x2 - 3a
9、x + 2b = (x - x )(x - x ) x2 - 3bx + 2c = (x - x )(x - x ) x2 - 3cx + 2a = (x - x )(x - x )令 x=1，并将三式相加，注意到 x i 1（i=1，2，6），有3 - (a + b + c) = (1- x1 )(1- x2 ) + (1- x3 )(1- x4 ) + (1- x5 )(1- x6 ) 0 + 0 + 0 = 0但 a1，b1，c1，又有 3-（a+b+c）0， 3-（a+b+c）=0故a=b=c=1八.分析等式3例 10.(1993 年安徽竞赛题) n 为正整数，方程 x2 - (有一个
10、整数根，则 n=.3解：不妨设已知方程的整数根为，则+1)x +3n - 6 = 0a2 - (+1)a +3n - 6 = 0整理。得 a2 - a - 6 =3(a - n)因为 a 为整数，所以 a2 - a - 6 为整数3(a - n) 也一定是整数，要使 3(a - n) 为整数，必有 a = n由此得 a2 - a - 6 = 0 ，即 n2 - n - 6 = 0解得 n=3 或-2（舍去）n=3。九.反客为主例 11.(第三届祖冲之杯竞赛题)求出所有正整数 a,使方程 ax2 + 2(2a -1)x + 4(a - 3) = 0至少有一个整数根.解：由原方程知 x2，不妨将方
11、程整理成关于的一元一次方程(x2 + 4x + 4)a = 2x +122x +12得 a = 1 （因为是正整数） (x + 2)2则得(x + 4)(x - 2) 0解得-4 x 2因此，x 只能取-4，-3，-1，0，1，2。分别代入 a 的表达式，故所求的正整数 a 是 1，3，6，10。十.利用配方法例 12. (第三届祖冲之杯竞赛题) 已知方程(a2 -1)x2 - 2(5a +1)x + 24 = 0有两个不等的负整数根,则整数 a 的值是. 解：原方程可变为a2 x2 -10ax - x2 - 2x + 24 = 0即 a2 x2 -10ax + 25 = x2 + 2x +1
12、(ax - 5)2 = (x +1)2ax - 5 = (x +1)64得： x1 = a -1 , x2 = a +1当 a-1=-1，-2，-3，-6，即 a=0，-1，-2，-5 时，x 为负整数。1但 a=0 时，x 2 0； a=-5 时,x 1 = 2 =-1又 a-1 a=-2。十一.利用奇偶分析例 13.(1999 年江苏第 14 届竞赛题)已知方程 x2 -1999x + a = 0 有两个质数根,则常数 a=.解：设方程的两个质数根为 x 1 ，x 2 ( x 1 x 2 )由根与系数的关系得 x 1 +x 2 =1999.显然 x 1 =2,x 2 =1997,于是 a=
13、21997=3994.十二.利用反证法例 14.不解方程,证明方程 x2 -1997x +1997 = 0 无整数根证明:假设方程有两个整数根,则+=1997,=1997,由第二式知均为奇数,于是+为偶数,但这与第一式相矛盾,所以,不可能都是整数.假设方程只有一个整数根,则+不可能是整数, 也与第一式相矛盾,所以方程不可能只有一个整数根. 综上所述,原方程无整数根.“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, people who learn to learn are very happy people. In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the
