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1、余弦定理总结练习含答案时间：45分钟满分：100分课堂训练1在ABC中，已知a5，b4，C120.则c为()或61【答案】B【解析】ca2b22abcosC5242254161.22ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2ac，且c2a，则cosB()【答案】B【解析】由b2ac，又c2a，由余弦定理a2c2b2a24a2a2a3cosB2ac2a2a4.3在ABC中，三个角A、B、C的对边边长分别为a3、b4、c6，则bccosAcacosBabcosC_.【答案】612【解析】bccosAcacosBabcosCbcb2c2a22bcc2a2b2a2b2c2122
2、2122212ca2acab2ab2(bca)2(cab)2(a22122261bc)2(abc)2.4在ABC中：a1，b1，C120，求c；a3，b4，c37，求最大角；a:b:c1:3:2，求A、B、C.【解析】(1)直接利用余弦定理即可；在三角形中，大边对大角；可设三边为x，3x,2x.【解析】(1)由余弦定理，得c2a2b22abcosC1212211(1)3，c3.2显然C最大，a2b2c23242371cosC2ab2342.C120.(3)由于a:b:c1:3:2，可设ax，b3x，c2x(x0)由余弦定理，得cosAb2c2a23x24x2x232bc23x2x2，A30.1
3、同理cosB2，cosC0.B60，C90.【规律方法】1本题为余弦定理的最基本应用，应在此基础上熟练地掌握余弦定理的结构特色2对于第(3)小题，依照已知条件，设出三边长，由余弦定理求出A，进而求出其余两角，别的也可考虑用正弦定理求B，但要注意谈论解的情况课后作业一、选择题(每题5分，共40分)1ABC中，以下结论：a2b2c2，则ABC为钝角三角形；a2b2c2bc，则A为60；a2b2c2，则ABC为锐角三角形；若A:B:C1:2:3，则a:b:c1:2:3，其中正确的个数为()A1B2C3D4【答案】Ab2c2a2【解析】cosA2bc0，C为锐角，但A或B不用然为锐角，错误；A30，B
4、60，C90，a:b:c1:3:2，错误应选A.2ABC的三内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，设向量p(ac，b)，q(ba，ca)若pq，则C的大小为()【答案】B【解析】p(ac，b)，q(ba，ca)且pq，(ac)(ca)b(ba)0即a2b2c2ab，cosCa2b2c2ab1.2ab2ab2C3.3ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A3，a7，b1，则c等于()A22B31D23【答案】B【解析】由余弦定理得，a2b2c22bccosA，22所以(7)1c21ccos，即c2c60，解得c3或c2(舍)应选B.4在不等边三角形ABC中，a为最大边，且a2B，AC，
5、故2ABC.又由于BCA，所以2A222b2c2a2A，即A3.由于a0，所以0A2.综上，3A0解得b13.7在ABC中，若acosAbcosBccosC，则这个三角形必然是()A锐角三角形或钝角三角形B以a或b为斜边的直角三角形C以c为斜边的直角三角形D等边三角形【答案】B【解析】由余弦定理acosAbcosBccosC可变为ab2c2a2ba2c2b2a2b2c22bc2acc2ab，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(a2b2c2)a2b2a2c2a4b2a2b2c2b4c2a2c2b2c42a2b2a4b4c40，(c2a2b2)(c2a2b2)0，c2b2a2或a2c2b
6、2，以a或b为斜边的直角三角形8若ABC的周长等于20，面积是103，A60，则BC边的长是()A5B6C7D8【答案】C1【解析】依题意及面积公式S2bcsinA，1得1032bcsin60，即bc40.又周长为20，故abc20，bc20a.由余弦定理，得a2b2c22bccosAb2c22bccos60b2c2bc(bc)23bc，故a2(20a)2120，解得a7.二、填空题(每题10分，共20分)9在ABC中，三边长AB7，BC5，AC6，则ABBC的值为_【答案】1919【解析】由余弦定理可求得cosB35，ABBC|AB|BCcosB19.|cos(B)|AB|BC|10已知等腰
7、三角形的底边长为a，腰长为2a，则腰上的中线长为_6【答案】2a【解析】如图，ABAC2a，BCa，BD为腰AC的中线，过AEC1作AEBC于E，在AEC中，cosC，在BCD中，由余弦定理AC4222222132得BDBCCD2BCCDcosC，即BDaa2aa42a，6BD2a.三、解答题(每题20分，共40分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11在ABC中，已知b2sin2Cc2sin2B2bccosBcosC，试判断三角形的形状【解析】解决本题，可分别利用正弦定理或余弦定理，把问题转变为角或边的关系求解abc【解析】方法一：由正弦定理sinAsinBsinC2R，R为ABC
8、外接圆的半径，将原式化为8R2sin2Bsin2C8R2sinBsinCcosBcosC.sinBsinC0，sinBsinCcosBcosC，即cos(BC)0，BC90，A90，故ABC为直角三角形方法二：将已知等式变为b2(1cos2C)c2(1cos2B)2bccosBcosC.222a2b2c222(a2c2b22由余弦定理可得：bcb(2ab)c2ac)2bca2b2c2a2c2b22ab2ac.22a2b2c2a2c2b22即bc4a2也即b2c2a2，故ABC为直角三角形【规律方法】在利用正弦定理推行边角转变时，等式两边a，b，及角的正弦值的次数必定相同，否则不能够相互转变12(2013全国新课标，理)如图，在ABC中，ABC90，AB3，BC1，P为ABC内一点，BPC90.1若PB2，求PA；若APB150，求tanPBA.【解析】(1)由已知得，PBC60，PBA30，2117在PBA中，由余弦定理得PA34232cos304，7PA2.(2)设PBA，由已知得，PBsin，3sin在PBA中，由正弦定理得sin150sin30，化简得，3cos4sin，33tan4，tanP
