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1、备课资料一、知识总结1.判断三角形解的方法“已知两边和其中一边的对角”解三角形,这类问题分为一解、二解和无解三种情况.一方面,我们可以利用课本上的几何图形加以理解,另一方面,也可以利用正弦函数的有界性进行分析. 设已知A、B、A,则利用正弦定理,如果sinB1,则问题无解.如果sinB1,则问题有一解;如果求出的sinB1,则可得B的两个值,但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断.2.利用三角形面积证明正弦定理已知ABC,设BCA, CAB,ABC,作ADBC,垂足为D.则RtADB中, ,AD=ABsinB=csinB.SABC=.同理,可证 SABC=. SA
2、BC=.absinc=bcsinA=acsinB,在等式两端同除以ABC,可得.即.3.利用正弦定理进行边角互换对于三角形中的三角函数,在进行恒等变形时,常常将正弦定理写成A=2RsinA,B=2RsinB,C=2RsinC或sinA=.（R为ABC外接圆半径）这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换,我们将在以后具体应用.二、典型例题1若ABC中(A2+B2)sin(A-B)=(A2-B2)sinC,则ABC是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形分析:运用正弦定理A=2RsinA,B=2RsinB以及结论sin2A-sin2B =sin(A+B)sin(A-B
3、),由（A2+ B2）sin(A-B) = (A2- B2)sinC,(sin2A+sin2B)sin(A-B) =(sin2A-sin2B)sinC=sin(A+B)sin(A-B)sinC.若sin(A-B)= 0,则 A = B.若sin(A-B)0,则sin2A+sin2B=sin2CA2+B2=C2.ABC为等腰三角形或直角三角形.故答案选D.2.在ABC中,A=45，BC = 45，最大边长为10，求角B、C,外接圆半径及面积S.分析：由A+B+C=180及BC=45,可得B=4K,C=5K，则9K=135，故K=15.那么B=60，C =75.由正弦定理,由面积公式.点评：求面积
4、时B未知但可转化为B=2RsinB,从而解决问题.3.在ABC中,已知A=30，A、B分别为角A、B对边，且A=4，B=4，解此三角形.分析：由正弦定理知.那么B1=60，C1=90，C1=8或B2=120，C2=30，C2=4.点评：若已知三角形两边和其中一边上的对角，如图可以看出满足条件的三角形有2个.4.已知ABC的三个内角成等差数列并且tanAtanC =2+,（1）求A、B、C的度数;（2）若AB边上的高CD=4,求三边A、B、C的长分析：（1）由2B=A+C，得B=60，则A+C=120，. 即(2+3)COsACOsC-sinAsinC=0 (1+)COsACOsC+ (COsA
5、COsC-sinAsinC)=0 (1+)COs(A+C)+COs(A-C)+COs(A+C)=0- +COs(A-C)+COs(A+C)=0.COs(A-C)=.得|A-C|=30.又A+C=120.A=45,C=75或A=75,C=45.（2）如图,若ABC,由正弦定理得A=8，B=4，C=BCOsA+ACOsB=4(+1).同理，若ABC时，则A=4(3+1)，B=46,，C =8. 点评：这类具有一定综合性的题目，恒等变形有一定的技巧.由三个角成等差得A+C=120,恒等变形的目标就是寻找A与C的关系，用恒等变形的方法的观点对条件等式进行转化此题还可以由tanAtanC =2+求出tanA+tanC =3+，运用韦达定理解出tanA和tanC,这对综合能力的训练大有益处
