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1、例题 21体心立方和面心立方点阵的倒易点阵 证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵 证明选体心立方点阵的初基矢量如图18所示，其中a是立方晶胞边长，是平行于立方体边的正交的单位矢量。初基晶胞体积根据式(21)计算倒易点阵矢量于是有：显然正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是 同理，对面心立方点阵写出初基矢量如图1.10所示。初基晶胞体积。根据式(21)计算倒易点阵矢量显然，正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是22 (a) 证明倒易点阵初基晶胞的体积是，这里是晶
2、体点阵初基晶胞的体积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身证明(a) 倒易点阵初基晶胞体积为，现计算由式(21)知，此处而这里引用了公式：。由于，故有而故有或写成倒易点阵初基晶胞体积为晶体点阵初基晶胞体积倒数的倍。(b) 现要证明晶体点阵初基矢量满足关系有前面知：令又知 ，代入上式得：同理 可见，倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身23 面间距 考虑晶体中一组互相平行的点阵平面(hkl)，(a) 证明倒易点阵矢量垂直于这组平面(hkl)；(b) 证明两个相邻的点阵平面间的距离d(hkl)为：(c) 证明对初基矢量互相正交的晶体点阵，有(d) 证明对简单立方点阵有证明(a) 参看图23，在
3、平面族(hkl)中，距原点最近的点阵平面ABC在三个晶轴上的截距分别是 现要证明G(hkl)垂直于ABC，只需证明G(hkl)垂直于平面ABC上的两个矢量CA和CB即可，用倒易点阵基矢与晶体点阵基矢间的正交关系式(22)，立即可得同理，故G(hkl)垂直于点阵平面(hkl)(b) 点阵平面(hkl)的面间距d(hkl)为(c) 如果晶体点阵的初基矢量彼此正交，则倒易点阵的初基矢量也必然彼此正交设 由倒易点阵基矢的定义及 得于是面间距为(d) 对立方晶系中的简单立方点阵，用(c)的结果可得24 二维倒易点阵 一个二维晶体点阵由边长AB4，AC=3，夹角BAC的平行四边形ABCD重复而成，试求倒易
4、点阵的初基矢量解 解法之一参看图24，晶体点阵初基矢量为 用正交关系式(22)求出倒易点阵初基矢量。设由得到下面四个方程式 (1) (2) (3) (4)由式(1)得： 由式(2)得： ，即解得： 由式(3)得： 代入式(4)得： 于是得出倒易点阵基矢解法之二选取为方向的单位矢量，即令于是初基晶胞体积为倒易点阵基矢为对二维点阵，仅取两个方向，于是得25 简单六角点阵的倒易点阵 简单六角点阵的初基矢量可以取为(a)证明简单六角点阵的倒易点阵仍为简单六角点阵，其点阵常数为2c和，并且相对于正点阵转动了30角；(b)当比率ca取什么值时，正点阵和倒易点阵的这个比率有相同数值?如果正点阵的ca比率取理
5、想值，倒易点阵的这个比率又是多少?(c)绘出简单六角点阵的第一布里渊区，并计算其体积解(a)选取简单六角点阵的初基矢量如图25所示初基晶胞体积为倒易点阵初基矢量为或写为同正点阵初基矢量比较看出，所确定的点阵仍是简单六角点阵，点阵常数为和，并相对于正点阵绕转动了30角(见图26)。(b)设倒易点阵的点阵常数比为，出(a)可知若，则有故当正点阵的值为时，倒易点阵的和正点阵的有相同值。若正点阵ca，则倒易点阵的为故当正点阵的ca为理想值时，倒易点阵的这个比值为0.53(c)简单六角点阵的第一布里渊区即倒易简单六角点阵的WS晶胞显然为一六角正棱柱(如图27)，其体积为即倒易简单六角点阵初基晶胞的体积为
6、26 底心正交点阵的倒易点阵 证明底心正交点阵的倒易点阵仍为底心正交点阵证明底心正交点阵的惯用晶胞如图28所示选取初基矢量为初基晶胞体积为倒易点阵基矢为由图29可以看出，这组基矢所确定的仍是一底心正交点阵，点阵常数为。 27 三角点阵的倒易点阵 三角点阵初基矢量具有相等长度a，彼此夹角为，试证明三角点阵的倒易点阵仍为三角点阵，且倒易点阵初基矢量的长度为。 其中是倒易点阵初基矢量间的夹角，满足 -cos*cos(1+cos) 证明三角点阵三个初基矢量的大小相等，且彼此夹角亦相等现令初基矢量为 (1)参见图2.10，是在x、y、z三个方向的方向余弦。由得 (2)由得 (3)于是有 (4)由倒易点阵
7、基矢的定义可知分别垂直于正点阵初基晶胞的平面，且有相同长度， (5)将 (6)代入上式得 (7)彼此间应有相间夹角设间的夹角为，利用公式上式化为 (8)同理可以证明任意二矢量间的夹角均为此值。为了计算，利用式(4)得到代入式(7)得 (9)2.8 点阵平面上的阵点密度(a) 证明点阵平面上的阵点密度（单位面积上的阵点数），这里是初基晶胞的体积，d是该点阵平面所属的平面族中相邻两点阵平面之间的距离；(b) 证明面心立方点阵阵点密度最大的平面是111面，体心立方点阵阵点密度最大的平面是110面证明(a) 考虑晶体点阵中相邻二平行点阵平面所构成的平行六面体，如图211所示设该平行六面体中包含n个阵点
8、，它的体积为或写为其中A是所考虑的平行六面体底面的面积，d是它的高由以上二式得于是点阵平面上的密度为(b) 由(a)可知，面间距d较大的点阵平面也有较大的阵点密度由倒易点阵矢量与面间距d的关系可知，倒易点阵矢量G(hkl)越短，与之垂直的点阵平面(hkl)两点密度也就越大面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵，其初基矢量都是最短的倒易点阵矢量，并都在立方晶胞的方向，故111平面有最大的阵点密度体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，其初基矢量也都是最短的倒易点阵矢量，并都沿立方晶胞的110方向，故110平面是体心立方点阵阵点密度最大的平面29 单斜点阵的面间距 已知平面族(hkl)的面间距与倒易点
9、阵矢量G(hkl)间的关系为其中，试证明单斜点阵的面间距d(hkl)由下式决定其中是单斜点阵惯用晶胞的三个边长，为间的夹角，（参看图2.12） 证明：单斜点阵惯用晶脑的几何特征是 初基晶胞的体积为(hkl)平面族的面间距为要计算d(hkl)，除了计算各倒易点阵基矢的长度外，还要求出它们之间的标量积，由倒易点阵基矢的定义此外，有代入d(hkl)的表达式中得210 外斯晶带定律 属于同一晶带的晶面彼此的交线相互平行，这些平行的晶棱的共同方向称为晶带轴的方向，试证明，(a) 晶带轴uvw与该晶带中的平面(hkl)满足关系(b) 证明晶面()，()，()属于同一晶带的条件是证明(a) 以晶面指数(hk
10、l)为指数的倒易点阵矢量G(hkl)是与晶面垂直的最短倒易点阵矢量，于是 必定在晶面(hkl)法线方向而晶带轴uvw的方向矢量为. 既然晶带轴是以晶带中互相平行的交线为方向，带轴和属于该晶带的晶面总是相互平行的，于是行 用晶体点阵和倒易点阵基矢间的正交关系直接可得(b) 既然属于同一晶带，由(a)有由于不同时为零，上述方程组的系数行列式必定为零，即211 一个单胞的尺寸为，试求：(a)倒易点阵单胞基矢；(b)倒易点阵单胞体积；(c)(210)平面的面间距；(d)此类平面反射的布喇格角(己知154)解(a)画出此单胞如图213所示 写出晶体点阵单胞基矢如下：晶体点阵的单胞体积为( )3倒易点阵单
11、胞的基矢为(b) 倒易点阵单细体积为()-3(c) 与晶面(hkl)垂直的最短倒易点阵矢量为()-1 (d)(210)面反射的布喇格角为 212 (a)从体心立方结构铁的(110)平面来的X-射线反射的布喇格角为22，X-射线波长154，试计算铁的立方晶胞边长；(b)从体心立方结构铁的(111)平面来的反射布喇格角是多少?(c)已知铁的原子量是558，试计算铁的密度 解(a)求出(110)平面的面间距d(110)于是求得点阵常数为(b) (111)平面的面间距为于是(111)平面反射的不喇格角为(c) 固体密度的公式为其中a是立方惯用晶胞边长，Z是立方惯用晶胞中的原子数，M为原于的质量，对体心
12、立方铁，Z2，将这些数值代入到的表达式中，得到213 衍射极大值的宽度 假定在一个线型晶体中，在每个阵点处置有全同的点散射中心，此处m是一个整数，总的散射波振幅正比于该式相当丁式(27)，只是对分离的点散射中心，积分化为求和利用级数对M个阵点求和后，上式化为(a) 已知散射强度I正比于，试证明 (b)当(h为整数)时，出现衍射极大值稍稍改变并由定义，使得给出函数的第一个零点证明，对于宏观晶体，出于M很大，因此衍射极大值的宽度可以非常狭窄以上结果对于三维晶体也是成立的 证明 (a)从一个线型点阵而来的散射波的振幅应等于各个阵点而来的散射波振幅之和考虑到相邻两阵点散射波的位相差因子是，总的散射波振
13、幅正比于因为散射波强度正比于的平方，由题知故 (b) 散射波强度的极大值出现在满足衍射条件 处，如果与此条件略有偏差，衍射条件不再满足，散射波的强度将下降假设当 时，对应于散射波强度的第一个零点(参见图214)，即满足或由此解得表征散射波极大值酌宽度，它和成反比，对于宏观晶体，的数值足够大，因而衍射极大值的宽度非常窄，即谱线十分锐214 散射波的振幅 当衍射条件满足时，从晶体射来的X-射线散射波振幅正比于式小n(r)是r处的电子浓度如果电子是定域化的，r处的电子浓度可以写为式中l是第l个晶胞原点的位置矢量(参见图215)，是第l个晶胞中第i个原子的中心相对于l的位置矢量是和第i个原子相联系的电于浓度证明可以写为其中N是晶体中所包含的晶胞数是把晶胞中的原子选作基元，该基元的几何结构因子其中是第i个原子的形状因子。试问散射波极大值的强度是多少？解把晶体分成N个晶胞，当衍射条件满足时，从各个晶胞而来的
