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1、轴对称专题 轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴 轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴， 折叠后重合的点是对应点，叫做对称点 两个 图形关于直线对称也叫做轴对称图形轴对称的性质 如果两个图形成轴对称， ?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对 称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?
2、成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形， 把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形， 这两个图形是全等 形，并且成轴对称 线段的垂直平分线 （ 1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线 （或线段的中垂线） （2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来， ?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 因此线段的垂直平分线可以看成与线段 两个端点距离相等的所有点的集合轴对称变换 轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换 ? 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到 轴对
3、称变换的性质 （1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（ 2）?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称 点八、（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分 作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形用坐标表示轴对称 关于坐标轴对称 点P （x, y）关于x轴对称的点的坐标是（x, -y）点P （x, y）关于y轴对称的点的坐标是（-x, y） 关于原点对称 点P （x, y）关于原点对称的点的坐标是（-x, -y） 关于坐标轴夹角平分线对称 点P
4、（x, y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y, x）点P（x, y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x对称的点的坐标是（-y, -x）关于平行于坐标轴的直线对称 点P（x, y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m-x, y）；点P（x, y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x, 2n-y）；等腰三角形等腰三角形 有两条边相等的三角形是等腰三角形 相等的两条边叫做腰, 另一条边叫做底边 两腰 所夹的角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角等腰三角形的性质 性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上
5、的高互相重合特别的：（ 1）等腰三角形是轴对称图形 .（ 2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等, 那么这两个角所对的边也相等 （简写成“等角对等边” ） 特别的：（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形（ 3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形（ 4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形 利用“三角形奠基法”作图 根据已知条件先作出一个与所求图形相关的三角形, 然后再以这个图形为基础, 作出所 求的三角形 .等边三角形等边三角形三条边都相等的
6、三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形.等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，？并且每一个内角都等于 60等边三角形的判定方法（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形.角平分线的性质.角平分线的作法.见课本.角平分线的性质.在角平分线上的点到角的两边的距离相等/ 0P平分/ AOB PML OA于 M PN丄 0B于 N, PM=PN角平分线的判定到角的两边距离相等的点在角的平分线上MCOPIMLOA于 M, PIN_OB于 N, P M=P N OP平分/ AOB三角形的角平分线的性质三角形三个内角的平
7、分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等,添加辅助线口诀几何证明难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，倍长中线把线连 线段垂直平分线，常向两端来连线；线段和差及倍分，延长截取全等现； 公共角、公共边，隐含条件要挖掘；平移对称加旋转，全等图形多变换 角平分线取一点，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称之后关系现;角平分线加平行，等腰三角形来添；角平分线伴垂直，三线合一试试看。角平分线+平行线T等腰三角形当一个三角形中岀现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形。如图1 (1)中，若AD平分NR4C , ad/ec,则 AACE是等腰三角形；如图1(2)中，若AD平分ZBAC,DE/AC,
8、则AADS是等腰三角形；如图1 (3)中，若是等腰三角形；如图1 (4)中，若AD平分1 , EF/AD，则亠I二是等腰三角形。,CE/AB ,_则图1例1.如图，在中，AB= AC,在AC上取点P,过点P作，交BA的延长线于点E,垂足为点F。求证：AE= APA关于直线,求/ OED1已知，如图1 11,在直角坐标系中，点 A在y轴上，BC丄x轴于点C,点OB的对称点 D恰好在BC上，点E与点0关于直线 BC对称，/ OBC= 35的度数.2. 已知：如图 2 3,线段 AB.求作：线段AB的垂直平分线MN .作法:3. 已知：如图 2 4,/ ABC及两点 M、N.求作：点P,使得PM =
9、 PN，且P点到/ ABC两边的距离相等. 作法：B,当点PB；若不4. 已知点A在直线I夕卜，点P为直线I上的一个动点，探究是否存在一个定点 在直线I上运动时，点P与A、B两点的距离总相等.如果存在，请作出定点 存在，请说明理由.图2 55. 如图2-6, AD为/ BAC的平分线，DE丄AB于E, DF丄AC于F，那么点E、F是否 关于AD对称？若对称，请说明理由.综合、运用、诊断6. 已知：如图3 乙A、B两点在直线I的同侧，点 A与A关于直线I对称，连接 AB交I 于P点，若AB = a.(1 )求 AP + PB;(2)若点M是直线I上异于P点的任意一点，求证：AM + MB AP+
10、 PB.7. 已知：A、B两点在直线I的同侧，试分别画出符合条件的点M.(1) 如图3 8,在I上求作一点 M，使得丨AM BM丨最小; 作(3) 如图3 10,在I上求作一点 M，使得 AM + BM最小.图 3 10&( 1)如图3 11,点A、B、C在直线I的同侧，在直线I上，求作一点P,使得四边形APBC的周长最小；4丧图 3 11(2) 如图3 12,已知线段a,点A、B在直线I的同侧，在直线I上，求作两点P、Q (点 P在点Q的左侧)且PQ= a，四边形APQB的周长最小.9.(1)已知：如图上求作一点(2)已知：如图图 3 123 13,点M在锐角/ AOB的内部，在 OA边上求
11、作一点Q,使得3 14，点M在锐角/ AOB的内部，在 0B边上求作一点P,在0B边P,使得点P到点M的距离与点P到0A边的距离之和最小.10. 已知：如图 6 5, ABC 中，BC 边上有 D、E 两点，/ 1 = Z 2,Z 3=Z 4. 求证： ABC是等腰三角形.11. 已知：如图 5-2, ABC 中，AB= AC, D、E 在 BC 边上，且 AD = AE. 求证：BD = CE.C12. 已知：如图 5-3, D、E 分别为 AB、AC 上的点，AC= BC = BD, AD = AE, DE = CE, 求/ B的度数.图5-313. 已知：如图 5-4 , ABC中，AB
12、= AC, D是AB上一点，延长 CA至E,使AE = AD . 试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论.拓展、探究、思考14. 已知：如图 5-5, Rt ABC 中，/ BAC = 90 , AB = AC , D 是 BC 的中点，AE = BF . 求证：(1) DE = DF ;( 2) DEF为等腰直角三角形.15. 在平面直角坐标系中，点 P (2, 3), Q (3, 2),请在x轴和y轴上分别找到 M点 和N点，使四边形 PQMN周长最小.(1) 作出M点和N点.(2) 求出M点和N点的坐标.Jy3观3)21* 0(X2)IJ1!.2012 Jx-1-2-图5-616.
13、已知：如图 6-6, ABC中，AB= AC, E在CA的延长线上，ED丄BC . 求证：AE = AF.图6-617. 已知：如图 6- 7,A ABC 中，/ ACB = 90 , CD丄 AB 于 D , BF 平分/ ABC 交 CD 于E,交AC于F. 求证：CE = CF .18. 如图 6-8,在厶 ABC 中，/ BAC = 60,/ ACB = 40, P、Q 分别在 BC、CA 上，并 且AP、BQ分别为/ BAC、/ ABC的角平分线，求证：BQ + AQ= AB + BP.图6-819. 如图6 9,若A、B是平面上的定点，在平面上找一点6使4 ABC构成等腰直角三角形
14、，问这样的C点有几个？并在图 69中画出C点的位置.20. 如图6 10,对于顶角/ A为36的等腰 ABC，请设计出三种不同的分法，将ABC分割为三个三角形，并且使每个三角形都是等腰三角形.图 6 1021. 已知：如图 7 8, AD是/ BAC的平分线，/ B=Z EAC, EF丄AD于F.求证：EF平分/ AEB .22. 已知：如图 7 9,在4 ABC中，CE是角平分线，EG / BC,交 AC边于F，交/ ACB 的外角 （/ACD）的平分线于 G,探究线段EF与FG的数量关系并证明你的结论.0图7 9D23. 如图7 10,过线段AB的两个端点作射线 AM, BN,使AM / BN,请按以下步骤画图 并回答.(1) 画/ MAB、/ NBA的平分线交于点 E,Z AEB是什么角？(2) 过点E任作一线段交 AM于点
