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1、正确用判别式法求值域“着重点”辨析用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要方法之一， 数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题。 忽视一些“着重点”而经常出错，下面针对“着重点” 一一加以它主要适用于分式型二次函 但在用判别式法求值域时因 辨析着重点1对二次方程的二次项系数是否为零加以讨论x2 _x +1例1求函数y 2的值域。2x 2x+3错解 原式变形为(2y-1)x2 (2y-1)x (3y-1) = 0(*)3x R ,.；： = (2y 1) 4(2y 1)(3y 1) _ 0，解得 31故所求函数的值域是2,丄10 2111分析 把y代入方程（*）显然无解，因此y不在函
2、数的值域内。事实上，y= 222时，方程（*）的二次项系数为0,显然用“来判定其根的存在情况是不正确的，因此要注意判别式存在的前提条件，即需对二次方程的二次项系数加以讨论 。正解 原式变形为(2y-1)x2(2y-1)x(3y-1) = 0(*)1(1 )当y 时，方程(*)无解；21 2(2)当 y 时， x R ,： =(2y-1)2 -4(2y-1)(3y-1) _0 ,解得210 2由（1）、（2）得，此函数的值域为色，1）10 2着重点2将原函数转化为方程时应等价变形例2求函数y二xix 1的值域。错解 移项平方得：x 2y 1 x V y2 =0,3一3由，十（约-1） 41 -0
3、解得，则原函数的值域是匸分析 由于y -x = Jx -1平方得x2 - 2y 1 x 1 y2 =0，这种变形不是等价变1 / 3形，实际上扩大了 x的取值范围，如果从原函数定义域x _ 1，那么y = X x 1 _ 1,3显然y ,是错误的。4丿正解令 t = .x-1，则 t_0，得 x =t21，y“+ 十 2，(1 23又丫 t 30，二 y =t2 +t +1 X 0 + 丨十 =1，I 2丿4故原函数的值域为y ：二1, :着重点3整体换元后新旧变量的限制条件要一致Vx +4例3求函数y 2 的值域x +5错解令. x24，贝U y =T ，二 yt2 t y = 0，由厶=1
4、 4y2 _ 0及 y 0t +11得值域为厂(0,丄。2分析 解法中忽视了新变元t满足条件t _2。正解设 f (t)二 yt2 -ty , y 0, t 2,：),。故函数得值域为(o,2。52 f (2)0 或 f (2) _0 二 0 ： y 一一52y着重点4力求先化简，不盲目用判别式法当用分子分母有公因式时，不能转化为二次方程再用判别式法，而应先约去公因式例4求函数x2 -1的值域错解(x = -1)2小x x -2x2 -122j2二 yx 一 y=x +x_2，即(y _1 * _x_y+2 = 0当y 一1 =0,即卩y -1时，由得x =1 (舍去)，.y =1 ;当 y
5、一1 =0 即 y =1 时，J =1 一4 y-1 -y 2 _0 得 2y-32 _0, . y R。综上可述，原函数的值域为 y |y=1且y R。分析事实上，当X2 X _2x2 -13=3时，解得x =1，而当x =1时原函数没23有意义，故y。错误的原因在于，当 x=1时，y-1x2-x-y，2的值为零，所以x =1是方程的根，但它不属于原函数的定义域，所以方程与方程不同解，故函数x2 x _2y 2不能转化为二次方程，用二次方程的理论行不通。x -1正解原函数可化为=区卫匕=区卫(x -1)(x1) (x 1)，即 y =1 (x 二 1),x +13故原函数的值域为 y |y=1且y=3。2
