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1、2018年春四川省棠湖中学高三年级第二学月考试数学（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数的虚部为（ ）A-4 B C D32.已知集合，则的子集个数为（ ）A4 B3 C2 D03.若满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）A2 B1 C. -2 D-14.为弘扬我国优秀的传统文化，市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布.试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（ ）A B C D参考数据：若，则，.5.一个简单几何体的三视图
2、如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于（ ）A B C. D26.我国古代数学名著增删算法统宗中有如下问题：“有个金球里面空，球高尺二厚三分，一寸自方十六两，试问金球几许金？”意思是：有一个空心金球，它的直径12寸，球壁厚0.3寸，1立方寸金重1斤，试问金球重是多少斤？（注）（ ）A125.77 B864 C123.23 D369.69 7.在中，是的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件8.执行下面的程序框图，如果输入，则输出的（ ）A7 B20 C.22 D549若，则=（ ）A B C D10.椭圆
3、：的左、右顶点分别为、，点在上，且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）A B C D 11.在中，若，则的最小值为（ ）A B C D12.已知、是函数（其中常数）图象上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最大值为（ ）A B C D 第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，满足，|，则| 14已知偶函数在上单调递减，且，若，则的取值范围是 15.在三角形中，、分别是边、的中点，点在直线上，且，则代数式的最小值为 16设函数与有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数的最大值为 .三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演
4、算步骤；1721每题12分，选做题10分，共70分）17（本小题满分12分）已知函数.（）求函数的最小正周期及对称中心；（）设的内角，的对边分别为，若，且，求，的值.18.（本小题满分12分）1993年，国际数学教育委员会（ICMI）专门召开过“性别与数学教育”国际研讨会，会议讨论内容之一是视觉和空间能力是否与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选择情况如下表：（单位：人）几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050（）能否据此判断有97. 5%的
5、把握认为视觉和空间能力与性别有关？（）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在57分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在68分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；（III）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生中被抽到的人数为，求的分布列及数学期望.附表及公式0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，是中点.（）证明：平面；（）若，求平面与平面所成二面角的正弦值.2
6、0.（本小题满分12分）已知长度为的线段的两个端点、分别在轴和轴上运动，动点满足，设动点的轨迹为曲线.（）求曲线的方程；（）过点且斜率不为零的直线与曲线交于两点、，在轴上是否存在定点，使得直线与的斜率之积为常数.若存在，求出定点的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由.21函数.（）求的单调区间；（）若，求证：.请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以直角坐标系的原
7、点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（）若直线与曲线相交于，两点，求的面积.23.选修4-5：不等式选讲已知定义在上的函数的最小值为（）求的值；（）若，为正实数，且，求证：2018年春四川省棠湖中学高三年级第二学月考试数学（理科）答案一选择题题号123456选项AABACC题号789101112选项CBBDBD二 填空题13.2 14. 15. 16.17解：（），所以最小正周期；由，得对称轴中心为（）由得，由正弦定理得，由余弦定理，由解得18（本小题满分12分）解:（1）由表中数据得的观测值所以根据统计有97.5%和空间能力与
8、性别有关. 3分（2）设甲，乙解答一道几何题的事件分别为分钟，则基本事件满足的区域为，如图所示 设事件为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为由几何概型，得，即乙比甲先解答完的概率为7分（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽取到有种；恰有一人被抽到有；两人都被抽到有种.可能取值为0,1,2，的分布列为012所以 12分19（）证明：如图3，连接，连接，四棱锥的底面为菱形，为中点，又是中点，在中，是中位线，又平面，而平面，平面 （）解：如图，取的中点，连接，为菱形，且，为正三角形，设，且为等腰直角三角形，即，平面，且，如图，建立空间直角坐
9、标系，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，则， ，设为平面的一个法向量，则即可取设为平面的一个法向量，则即可取于是 所以平面与平面所成二面角的正弦值为20.解：（1）设，由于，所以，即，所以，又，所以，从而.即曲线的方程为：.（2）由题意设直线的方程为：，由得：，所以.故，假设存在定点，使得直线与的斜率之积为常数，则.当，且时，为常数，解得.显然当时，常数为；当时，常数为，所以存在两个定点，使得直线与的斜率之积为常数，当定点为时，常数为；当定点为时，常数为.21解：（） 当a0时，则在上单调递减； 当时，由解得，由解得即在上单调递减；在上单调递增；综上，a0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是() 由（）知在上单调递减；在上单调递增，则 要证，即证，即+0，即证构造函数，则， 由解得，由解得，即在上单调递减；在上单调递增； ，即0成立从而成立22【选修44：坐标系与参数方程】解：（）由曲线的极坐标方程为，得，所以曲线的直角坐标方程是由直线的参数方程为（t为参数），得直线的普通方程 （）由直线的参数方程为（t为参数），得（t为参数），代入，得，设两点对应的参数分别为，则，所以，因为原点到直线的距离，所以 23.解：（1）因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值等于3，即（2）由（1）知，又因为，是正数，即- 12 -
